Страница 197 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. О случайной величине $x$ известно, что $M(x) = 5$, $D(x) = 3$. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины:

1) $y = 2x;$

2) $z = -x;$

3) $t = \frac{x}{3}.$

Для решения данной задачи используются свойства математического ожидания и дисперсии для линейного преобразования случайной величины. Если $X$ — случайная величина, а $a$ и $b$ — постоянные, то справедливы следующие формулы:

1. Математическое ожидание: $M(aX + b) = aM(X) + b$.

2. Дисперсия: $D(aX + b) = a^2D(X)$.

По условию задачи известны математическое ожидание $M(x) = 5$ и дисперсия $D(x) = 3$.

1) Для случайной величины $y = 2x$.

В этом случае коэффициент $a = 2$, а константа $b = 0$.

Математическое ожидание $M(y)$:

$M(y) = M(2x) = 2 \cdot M(x) = 2 \cdot 5 = 10$.

Дисперсия $D(y)$:

$D(y) = D(2x) = 2^2 \cdot D(x) = 4 \cdot 3 = 12$.

Ответ: $M(y) = 10, D(y) = 12$.

2) Для случайной величины $z = -x$.

Это преобразование можно записать как $z = (-1) \cdot x + 0$, где $a = -1$, $b = 0$.

Математическое ожидание $M(z)$:

$M(z) = M(-x) = -1 \cdot M(x) = -1 \cdot 5 = -5$.

Дисперсия $D(z)$:

$D(z) = D(-x) = (-1)^2 \cdot D(x) = 1 \cdot 3 = 3$.

Ответ: $M(z) = -5, D(z) = 3$.

3) Для случайной величины $t = \frac{x}{3}$.

Это преобразование можно записать как $t = \frac{1}{3} \cdot x + 0$, где $a = \frac{1}{3}$, $b = 0$.

Математическое ожидание $M(t)$:

$M(t) = M(\frac{x}{3}) = \frac{1}{3} \cdot M(x) = \frac{1}{3} \cdot 5 = \frac{5}{3}$.

Дисперсия $D(t)$:

$D(t) = D(\frac{x}{3}) = (\frac{1}{3})^2 \cdot D(x) = \frac{1}{9} \cdot 3 = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $M(t) = \frac{5}{3}, D(t) = \frac{1}{3}$.

2. На карте с масштабом 1 : 10 000 линейкой измеряют расстояние между точками $A$ и $B$. Случайная величина $x$ равна измеренному расстоянию (в сантиметрах). Известно, что $M(x) = 7, D(x) = 0,1$. Оцените расстояние на местности между пунктами $A$ и $B$ (в метрах). Чему равна дисперсия величины, равной вычисленному расстоянию между пунктами $A$ и $B$ на местности?

Для решения задачи введем обозначения. Пусть $x$ — случайная величина, равная измеренному на карте расстоянию между точками А и В в сантиметрах. По условию, ее математическое ожидание (среднее значение) и дисперсия равны:

$M(x) = 7$ (см)

$D(x) = 0.1$ (см$^2$)

Масштаб карты 1:10 000 означает, что 1 сантиметр на карте соответствует 10 000 сантиметрам на местности. Поскольку вопросы задачи требуют ответа в метрах, переведем это соотношение в метры. Зная, что в 1 метре 100 сантиметров, получаем:

$10\ 000$ см $= \frac{10\ 000}{100}$ м $= 100$ м.

Следовательно, каждому сантиметру на карте соответствует 100 метров на местности.

Пусть $Y$ — случайная величина, равная расстоянию на местности в метрах. Тогда связь между измеренной на карте величиной $x$ и реальной величиной $Y$ можно выразить как:

$Y = 100 \cdot x$

Оцените расстояние на местности между пунктами А и В (в метрах)

Наилучшей оценкой расстояния на местности является математическое ожидание случайной величины $Y$. Для его вычисления воспользуемся свойством математического ожидания: $M(C \cdot X) = C \cdot M(X)$, где $C$ — постоянный коэффициент.

В нашем случае $C = 100$. Применим свойство к нашей величине $Y$:

$M(Y) = M(100 \cdot x) = 100 \cdot M(x)$

Подставим известное значение $M(x) = 7$:

$M(Y) = 100 \cdot 7 = 700$ м.

Ответ: оценка расстояния на местности между пунктами А и В составляет 700 м.

Чему равна дисперсия величины, равной вычисленному расстоянию между пунктами А и В на местности?

Требуется найти дисперсию случайной величины $Y$, которая представляет расстояние на местности. Для этого воспользуемся свойством дисперсии: $D(C \cdot X) = C^2 \cdot D(X)$, где $C$ — постоянный коэффициент.

В нашем случае $C = 100$. Применим свойство к нашей величине $Y$:

$D(Y) = D(100 \cdot x) = 100^2 \cdot D(x)$

Подставим известное значение $D(x) = 0.1$:

$D(Y) = 100^2 \cdot 0.1 = 10\ 000 \cdot 0.1 = 1000$ (м$^2$).

Ответ: дисперсия величины, равной вычисленному расстоянию на местности, равна 1000 м$^2$.