Номер 1, страница 197 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Когда сделаны уроки - номер 1, страница 197.

1. О случайной величине $x$ известно, что $M(x) = 5$, $D(x) = 3$. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины:

1) $y = 2x;$

2) $z = -x;$

3) $t = \frac{x}{3}.$

Для решения данной задачи используются свойства математического ожидания и дисперсии для линейного преобразования случайной величины. Если $X$ — случайная величина, а $a$ и $b$ — постоянные, то справедливы следующие формулы:

1. Математическое ожидание: $M(aX + b) = aM(X) + b$.

2. Дисперсия: $D(aX + b) = a^2D(X)$.

По условию задачи известны математическое ожидание $M(x) = 5$ и дисперсия $D(x) = 3$.

---

1) Для случайной величины $y = 2x$.

В этом случае коэффициент $a = 2$, а константа $b = 0$.

Математическое ожидание $M(y)$:

$M(y) = M(2x) = 2 \cdot M(x) = 2 \cdot 5 = 10$.

Дисперсия $D(y)$:

$D(y) = D(2x) = 2^2 \cdot D(x) = 4 \cdot 3 = 12$.

Ответ: $M(y) = 10, D(y) = 12$.

---

2) Для случайной величины $z = -x$.

Это преобразование можно записать как $z = (-1) \cdot x + 0$, где $a = -1$, $b = 0$.

Математическое ожидание $M(z)$:

$M(z) = M(-x) = -1 \cdot M(x) = -1 \cdot 5 = -5$.

Дисперсия $D(z)$:

$D(z) = D(-x) = (-1)^2 \cdot D(x) = 1 \cdot 3 = 3$.

Ответ: $M(z) = -5, D(z) = 3$.

---

3) Для случайной величины $t = \frac{x}{3}$.

Это преобразование можно записать как $t = \frac{1}{3} \cdot x + 0$, где $a = \frac{1}{3}$, $b = 0$.

Математическое ожидание $M(t)$:

$M(t) = M(\frac{x}{3}) = \frac{1}{3} \cdot M(x) = \frac{1}{3} \cdot 5 = \frac{5}{3}$.

Дисперсия $D(t)$:

$D(t) = D(\frac{x}{3}) = (\frac{1}{3})^2 \cdot D(x) = \frac{1}{9} \cdot 3 = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $M(t) = \frac{5}{3}, D(t) = \frac{1}{3}$.