Номер 2, страница 200 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Когда сделаны уроки. Упражнения - номер 2, страница 200.

Учебник.

2. Пусть $D (x)$ — дисперсия случайной величины $x$ и $c$ — константа. Докажите, что $D (x + c) = D (x)$.

Решение 2.

Для доказательства равенства $D(x+c) = D(x)$, где $D(x)$ — дисперсия случайной величины $x$, а $c$ — константа, мы воспользуемся определением дисперсии. Дисперсия случайной величины $X$ — это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания. Формула для дисперсии выглядит следующим образом:$D(X) = E[(X - E[X])^2]$, где $E[X]$ — математическое ожидание случайной величины $X$.

Найдём дисперсию для случайной величины $x+c$, подставив её в определение:$D(x+c) = E[((x+c) - E[x+c])^2]$.

Для дальнейших преобразований нам необходимо найти математическое ожидание величины $x+c$. Согласно свойству линейности математического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий:$E[x+c] = E[x] + E[c]$.Поскольку $c$ является константой, её математическое ожидание равно самой этой константе: $E[c] = c$.Таким образом, получаем: $E[x+c] = E[x] + c$.

Теперь подставим найденное выражение для $E[x+c]$ обратно в формулу для дисперсии $D(x+c)$:$D(x+c) = E[((x+c) - (E[x] + c))^2]$.

Упростим выражение, находящееся внутри скобок под знаком математического ожидания:$(x+c) - (E[x] + c) = x + c - E[x] - c = x - E[x]$.

В результате упрощения формула для $D(x+c)$ принимает вид:$D(x+c) = E[(x - E[x])^2]$.

Полученное выражение $E[(x - E[x])^2]$ в точности соответствует определению дисперсии случайной величины $x$, то есть $D(x)$.Следовательно, мы доказали, что $D(x+c) = D(x)$.

Данное равенство можно доказать и другим способом, используя альтернативную формулу для расчёта дисперсии: $D(X) = E[X^2] - (E[X])^2$.

Применим эту формулу для $D(x+c)$:$D(x+c) = E[(x+c)^2] - (E[x+c])^2$.

Распишем каждый из двух членов этого выражения.Первый член: $E[(x+c)^2]$. Раскроем квадрат и воспользуемся свойством линейности математического ожидания:$E[(x+c)^2] = E[x^2 + 2cx + c^2] = E[x^2] + E[2cx] + E[c^2] = E[x^2] + 2cE[x] + c^2$.

Второй член: $(E[x+c])^2$. Мы уже знаем, что $E[x+c] = E[x] + c$. Возведём это выражение в квадрат:$(E[x+c])^2 = (E[x] + c)^2 = (E[x])^2 + 2cE[x] + c^2$.

Теперь вычтем второе полученное выражение из первого:$D(x+c) = (E[x^2] + 2cE[x] + c^2) - ((E[x])^2 + 2cE[x] + c^2)$.

Раскроем скобки и сократим подобные слагаемые:$D(x+c) = E[x^2] + 2cE[x] + c^2 - (E[x])^2 - 2cE[x] - c^2 = E[x^2] - (E[x])^2$.

Полученное выражение $E[x^2] - (E[x])^2$ является формулой для $D(x)$, что ещё раз подтверждает доказываемое тождество.

Ответ: Доказательство основано на свойствах математического ожидания. Используя определение дисперсии $D(X)=E[(X-E[X])^2]$ и свойство линейности математического ожидания $E[x+c]=E[x]+c$, получаем: $D(x+c) = E[((x+c)-(E[x]+c))^2] = E[(x-E[x])^2] = D(x)$. Таким образом, равенство $D(x+c) = D(x)$ является верным.