Номер 1, страница 200 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Когда сделаны уроки - номер 1, страница 200.

1. Пусть $D(x)$ - дисперсия случайной величины $x$. Докажите, что $D(x) = M(x^2) - (M(x))^2$.

1.

Для доказательства воспользуемся определением дисперсии и свойствами математического ожидания. Введем обозначение для математического ожидания случайной величины $x$: $M(x)$.

Дисперсия $D(x)$ по определению — это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

$D(x) = M\left((x - M(x))^2\right)$

Раскроем квадрат разности под знаком математического ожидания, используя формулу $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$(x - M(x))^2 = x^2 - 2xM(x) + (M(x))^2$

Подставим это выражение обратно в определение дисперсии:

$D(x) = M\left(x^2 - 2xM(x) + (M(x))^2\right)$

Теперь воспользуемся свойством линейности математического ожидания, которое гласит, что математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий: $M(A+B) = M(A) + M(B)$. Применив это свойство, получим:

$D(x) = M(x^2) - M(2xM(x)) + M\left((M(x))^2\right)$

Далее используем свойство вынесения константы за знак математического ожидания: $M(c \cdot Y) = c \cdot M(Y)$, где $c$ — константа. Важно помнить, что математическое ожидание $M(x)$ само по себе является константой (числом).

Для второго слагаемого $M(2xM(x))$, константами являются $2$ и $M(x)$. Вынесем их:

$M(2xM(x)) = 2M(x) \cdot M(x) = 2(M(x))^2$

Для третьего слагаемого $M\left((M(x))^2\right)$, все выражение $(M(x))^2$ является константой. Математическое ожидание константы равно самой константе:

$M\left((M(x))^2\right) = (M(x))^2$

Подставим преобразованные слагаемые обратно в выражение для дисперсии:

$D(x) = M(x^2) - 2(M(x))^2 + (M(x))^2$

Приведем подобные слагаемые:

$D(x) = M(x^2) - (M(x))^2$

Таким образом, мы доказали требуемое тождество.

Ответ: Доказательство основано на определении дисперсии $D(x) = M((x - M(x))^2)$ и свойствах математического ожидания. Последовательное применение свойства линейности математического ожидания и свойства вынесения константы за его знак к раскрытому выражению под знаком ожидания приводит к искомой формуле $D(x) = M(x^2) - (M(x))^2$.