Номер 3, страница 200 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Когда сделаны уроки - номер 3, страница 200.

3. Пусть случайная величина $x$ имеет биномиальное распределение с параметрами $n$ и $p$. Докажите, что $M(x) = np$, $D(x) = np(1 - p)$.

Пусть случайная величина $x$ имеет биномиальное распределение с параметрами $n$ (число испытаний) и $p$ (вероятность успеха в одном испытании), что обозначается как $x \sim B(n, p)$. Доказательство искомых формул удобнее всего провести, представив биномиальную случайную величину как сумму независимых случайных величин.

По определению, биномиальная случайная величина $x$ представляет собой сумму $n$ независимых и одинаково распределенных случайных величин $x_i$, каждая из которых имеет распределение Бернулли.

$x = x_1 + x_2 + ... + x_n = \sum_{i=1}^{n} x_i$

Здесь $x_i$ — это случайная величина, описывающая исход $i$-го испытания: $x_i = 1$, если в $i$-м испытании произошел "успех" (с вероятностью $p$). $x_i = 0$, если в $i$-м испытании произошла "неудача" (с вероятностью $1-p$).

Доказательство, что $M(x) = np$

Математическое ожидание $M(x)$ по свойству линейности равно сумме математических ожиданий слагаемых: $M(x) = M(\sum_{i=1}^{n} x_i) = \sum_{i=1}^{n} M(x_i)$.

Найдем математическое ожидание одной бернуллиевской величины $x_i$: $M(x_i) = 1 \cdot P(x_i=1) + 0 \cdot P(x_i=0) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p$.

Так как все $n$ испытаний одинаковы, $M(x_i) = p$ для каждого $i$. Тогда математическое ожидание биномиальной величины $x$ равно: $M(x) = \sum_{i=1}^{n} p = np$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: $M(x) = np$.

Доказательство, что $D(x) = np(1-p)$

Дисперсия $D(x)$, в силу независимости испытаний (и, следовательно, независимости случайных величин $x_i$), равна сумме дисперсий слагаемых: $D(x) = D(\sum_{i=1}^{n} x_i) = \sum_{i=1}^{n} D(x_i)$.

Найдем дисперсию одной бернуллиевской величины $x_i$ по формуле $D(x_i) = M(x_i^2) - (M(x_i))^2$.

Мы уже знаем, что $M(x_i) = p$. Найдем второй начальный момент $M(x_i^2)$: $M(x_i^2) = 1^2 \cdot P(x_i=1) + 0^2 \cdot P(x_i=0) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p$.

Теперь вычислим дисперсию $x_i$: $D(x_i) = M(x_i^2) - (M(x_i))^2 = p - p^2 = p(1-p)$.

Так как все $n$ испытаний одинаковы, $D(x_i) = p(1-p)$ для каждого $i$. Тогда дисперсия биномиальной величины $x$ равна: $D(x) = \sum_{i=1}^{n} p(1-p) = np(1-p)$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: $D(x) = np(1-p)$.