Номер 3, страница 196 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. Когда сделаны уроки - номер 3, страница 196.

3. Пусть случайная величина $x$ имеет распределение Бернулли:

Значение $x$ 0 1

Вероятность $1 - p$ $p$

Докажите, что

$M(x) = p, D(x) = p(1 - p)$.

Для решения задачи нам понадобятся определения математического ожидания и дисперсии для дискретной случайной величины.

Случайная величина $x$ имеет распределение Бернулли и принимает следующие значения:

• $x_1 = 0$ с вероятностью $p_1 = 1 - p$
• $x_2 = 1$ с вероятностью $p_2 = p$

Доказательство, что $M(x) = p$

Математическое ожидание ($M(x)$) дискретной случайной величины вычисляется как сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности. Формула имеет вид:

$M(x) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$

Применим эту формулу к нашей случайной величине $x$:

$M(x) = x_1 \cdot p_1 + x_2 \cdot p_2 = 0 \cdot (1-p) + 1 \cdot p$

Выполним вычисления:

$M(x) = 0 + p = p$

Таким образом, математическое ожидание случайной величины $x$, имеющей распределение Бернулли, действительно равно $p$.

Ответ: Доказано, что $M(x) = p$.

Доказательство, что $D(x) = p(1 - p)$

Дисперсия ($D(x)$) дискретной случайной величины может быть вычислена по формуле:

$D(x) = M(x^2) - [M(x)]^2$

Мы уже доказали, что $M(x) = p$. Теперь нам нужно найти $M(x^2)$ — математическое ожидание квадрата случайной величины. Оно вычисляется аналогично математическому ожиданию, но значения величины возводятся в квадрат:

$M(x^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 p_i$

Подставим наши значения:

$M(x^2) = x_1^2 \cdot p_1 + x_2^2 \cdot p_2 = 0^2 \cdot (1-p) + 1^2 \cdot p$

Выполним вычисления:

$M(x^2) = 0 \cdot (1-p) + 1 \cdot p = 0 + p = p$

Теперь, зная $M(x^2) = p$ и $M(x) = p$, подставим эти значения в формулу для дисперсии:

$D(x) = M(x^2) - [M(x)]^2 = p - p^2$

Вынесем общий множитель $p$ за скобки:

$D(x) = p(1 - p)$

Таким образом, дисперсия случайной величины $x$, имеющей распределение Бернулли, действительно равна $p(1-p)$.

Ответ: Доказано, что $D(x) = p(1-p)$.