Номер 20.24, страница 179 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 20. Случайные величины и их характеристики. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 20.24, страница 179.

20.24. Из большой коробки с конфетами, среди которых 30% шоколадных, Карлсон наугад достаёт 4 конфеты.

1) Составьте таблицу распределения вероятностей количества шоколадных конфет у Карлсона.

2) Вычислите, пользуясь определением, математическое ожидание количества шоколадных конфет у Карлсона.

3) Чему было бы равным математическое ожидание количества шоколадных конфет у Карлсона, если бы он наугад доставал 50 конфет?

1) Составьте таблицу распределения вероятностей количества шоколадных конфет у Карлсона.

Пусть $X$ — это случайная величина, равная количеству шоколадных конфет среди 4 конфет, которые Карлсон достает наугад. Общее число извлеченных конфет (испытаний) равно $n=4$.

Вероятность того, что любая взятая конфета является шоколадной, составляет $p = 30\% = 0.3$. Соответственно, вероятность того, что конфета не является шоколадной, равна $q = 1 - p = 1 - 0.3 = 0.7$.

Поскольку в условии сказано, что коробка "большая", мы можем считать, что выбор одной конфеты не изменяет вероятности для последующих выборов. Это означает, что мы можем использовать формулу Бернулли для биномиального распределения, чтобы найти вероятность того, что среди $n$ конфет будет ровно $k$ шоколадных:

$P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — количество сочетаний.

Возможные значения для $X$ (количество шоколадных конфет) — это 0, 1, 2, 3, 4. Вычислим вероятности для каждого из этих значений:

• Вероятность того, что шоколадных конфет нет ($k=0$):
  $P(X=0) = C_4^0 \cdot (0.3)^0 \cdot (0.7)^4 = 1 \cdot 1 \cdot 0.2401 = 0.2401$
• Вероятность того, что есть одна шоколадная конфета ($k=1$):
  $P(X=1) = C_4^1 \cdot (0.3)^1 \cdot (0.7)^3 = 4 \cdot 0.3 \cdot 0.343 = 0.4116$
• Вероятность того, что есть две шоколадные конфеты ($k=2$):
  $P(X=2) = C_4^2 \cdot (0.3)^2 \cdot (0.7)^2 = 6 \cdot 0.09 \cdot 0.49 = 0.2646$
• Вероятность того, что есть три шоколадные конфеты ($k=3$):
  $P(X=3) = C_4^3 \cdot (0.3)^3 \cdot (0.7)^1 = 4 \cdot 0.027 \cdot 0.7 = 0.0756$
• Вероятность того, что все четыре конфеты шоколадные ($k=4$):
  $P(X=4) = C_4^4 \cdot (0.3)^4 \cdot (0.7)^0 = 1 \cdot 0.0081 \cdot 1 = 0.0081$

Ответ:

Итоговая таблица распределения вероятностей количества шоколадных конфет:

$k$ (количество шоколадных конфет)	$P(X=k)$ (вероятность)
0	0.2401
1	0.4116
2	0.2646
3	0.0756
4	0.0081

2) Вычислите, пользуясь определением, математическое ожидание количества шоколадных конфет у Карлсона.

Математическое ожидание $E(X)$ дискретной случайной величины по определению вычисляется как сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие им вероятности:

$E(X) = \sum_{k} k \cdot P(X=k)$

Используя данные из таблицы распределения, полученной в предыдущем пункте, произведем расчет:

$E(X) = (0 \cdot 0.2401) + (1 \cdot 0.4116) + (2 \cdot 0.2646) + (3 \cdot 0.0756) + (4 \cdot 0.0081)$

$E(X) = 0 + 0.4116 + 0.5292 + 0.2268 + 0.0324$

$E(X) = 1.2$

Таким образом, в среднем Карлсон будет доставать 1.2 шоколадные конфеты.

Ответ: $1.2$.

3) Чему было бы равным математическое ожидание количества шоколадных конфет у Карлсона, если бы он наугад доставал 50 конфет?

В этом случае мы снова имеем дело с биномиальным распределением, но количество испытаний (извлеченных конфет) теперь равно $n=50$. Вероятность "успеха" (вытащить шоколадную конфету) остается прежней: $p=0.3$.

Для биномиального распределения существует простая формула для вычисления математического ожидания:

$E(X) = n \cdot p$

Подставим в нее новые значения $n$ и $p$:

$E(X) = 50 \cdot 0.3 = 15$

Ответ: $15$.