Номер 20.21, страница 179 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 20. Случайные величины и их характеристики. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 20.21, страница 179.

20.21. Чему равно математическое ожидание количества выпавших шестёрок при подбрасывании трёх игральных кубиков? Подтвердите ответ расчётом, основанным на определении математического ожидания.

Пусть $X$ — это случайная величина, равная количеству выпавших шестёрок при подбрасывании трёх игральных кубиков. Эта величина может принимать значения $0, 1, 2$ или $3$.

Согласно определению, математическое ожидание $E[X]$ дискретной случайной величины вычисляется как сумма произведений всех её возможных значений на их вероятности:$E[X] = \sum_{k} k \cdot P(X=k)$

В данном случае формула выглядит так:$E[X] = 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) + 3 \cdot P(X=3)$

Для расчёта вероятностей $P(X=k)$ необходимо найти общее число равновозможных исходов. При броске одного кубика возможно 6 исходов. При броске трёх кубиков общее число равновозможных исходов составляет $6 \times 6 \times 6 = 6^3 = 216$.

Теперь рассчитаем вероятность для каждого возможного значения $X$.

Вероятность того, что не выпадет ни одной шестёрки ($X=0$)
На каждом из трёх кубиков должна выпасть любая из 5 граней, не являющихся шестёркой. Количество таких исходов равно $5 \times 5 \times 5 = 125$.
Вероятность этого события: $P(X=0) = \frac{125}{216}$.

Вероятность того, что выпадет ровно одна шестёрка ($X=1$)
Нужно выбрать один из трёх кубиков, на котором выпадет шестёрка (это можно сделать $C_3^1 = 3$ способами). На двух других кубиках должны выпасть грани, не являющиеся шестёрками (для каждого 5 вариантов). Общее число благоприятных исходов: $C_3^1 \times 1 \times 5^2 = 3 \times 25 = 75$.
Вероятность этого события: $P(X=1) = \frac{75}{216}$.

Вероятность того, что выпадет ровно две шестёрки ($X=2$)
Нужно выбрать два из трёх кубиков, на которых выпадут шестёрки ($C_3^2 = 3$ способа). На оставшемся кубике должна выпасть грань, не являющаяся шестёркой (5 вариантов). Общее число благоприятных исходов: $C_3^2 \times 1^2 \times 5 = 3 \times 5 = 15$.
Вероятность этого события: $P(X=2) = \frac{15}{216}$.

Вероятность того, что выпадет три шестёрки ($X=3$)
Существует только один такой исход: на всех трёх кубиках выпадает шестёрка.
Вероятность этого события: $P(X=3) = \frac{1}{216}$.

Теперь, имея все вероятности, мы можем рассчитать математическое ожидание по его определению:$E[X] = 0 \cdot \frac{125}{216} + 1 \cdot \frac{75}{216} + 2 \cdot \frac{15}{216} + 3 \cdot \frac{1}{216}$$E[X] = \frac{0}{216} + \frac{75}{216} + \frac{30}{216} + \frac{3}{216}$$E[X] = \frac{75 + 30 + 3}{216} = \frac{108}{216} = \frac{1}{2}$

Ответ: Математическое ожидание количества выпавших шестёрок равно $\frac{1}{2}$.