Номер 20.16, страница 178 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 20. Случайные величины и их характеристики. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 20.16, страница 178.

20.16. Случайная величина $x$ равна количеству препаратов, проданных аптекой одному покупателю за одну покупку. Известно, что $P(x = k) = a(6k - k^2)$ для $k = 0, 1, 2, ..., 6$. Найдите математическое ожидание количества препаратов, проданных аптекой одному покупателю за одну покупку.

Пусть $x$ — случайная величина, равная количеству препаратов, проданных аптекой одному покупателю. Возможные значения $k$ для этой случайной величины: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$. Вероятность того, что будет продано $k$ препаратов, задана формулой $P(x = k) = a(6k - k^2)$.

Для нахождения математического ожидания $E[x]$ сначала необходимо определить значение коэффициента $a$. Мы используем свойство распределения вероятностей, согласно которому сумма вероятностей всех возможных исходов равна единице:

$\sum_{k=0}^{6} P(x = k) = 1$

Подставим формулу для вероятности в это уравнение:

$\sum_{k=0}^{6} a(6k - k^2) = a \sum_{k=0}^{6} (6k - k^2) = 1$

Теперь вычислим сумму, подставляя все возможные значения $k$ от 0 до 6:

Для $k=0: P(x=0) = a(6 \cdot 0 - 0^2) = a \cdot 0 = 0$
Для $k=1: P(x=1) = a(6 \cdot 1 - 1^2) = a(6 - 1) = 5a$
Для $k=2: P(x=2) = a(6 \cdot 2 - 2^2) = a(12 - 4) = 8a$
Для $k=3: P(x=3) = a(6 \cdot 3 - 3^2) = a(18 - 9) = 9a$
Для $k=4: P(x=4) = a(6 \cdot 4 - 4^2) = a(24 - 16) = 8a$
Для $k=5: P(x=5) = a(6 \cdot 5 - 5^2) = a(30 - 25) = 5a$
Для $k=6: P(x=6) = a(6 \cdot 6 - 6^2) = a(36 - 36) = 0$

Просуммируем вероятности:

$0 + 5a + 8a + 9a + 8a + 5a + 0 = 35a$

Так как сумма вероятностей равна 1, получаем уравнение:

$35a = 1 \Rightarrow a = \frac{1}{35}$

Теперь мы можем найти математическое ожидание $E[x]$, которое определяется как сумма произведений каждого возможного значения случайной величины на его вероятность:

$E[x] = \sum_{k=0}^{6} k \cdot P(x = k)$

Подставим наши данные:

$E[x] = \sum_{k=0}^{6} k \cdot a(6k - k^2) = a \sum_{k=0}^{6} (6k^2 - k^3)$

Вычислим сумму $\sum_{k=0}^{6} (6k^2 - k^3)$:

Для $k=0: 0 \cdot P(x=0) = 0$
Для $k=1: 1 \cdot P(x=1) = 1 \cdot 5a = 5a$
Для $k=2: 2 \cdot P(x=2) = 2 \cdot 8a = 16a$
Для $k=3: 3 \cdot P(x=3) = 3 \cdot 9a = 27a$
Для $k=4: 4 \cdot P(x=4) = 4 \cdot 8a = 32a$
Для $k=5: 5 \cdot P(x=5) = 5 \cdot 5a = 25a$
Для $k=6: 6 \cdot P(x=6) = 0$

Суммируем эти значения:

$E[x] = 0 + 5a + 16a + 27a + 32a + 25a + 0 = 105a$

Подставим найденное значение $a = \frac{1}{35}$:

$E[x] = 105 \cdot \frac{1}{35} = \frac{105}{35} = 3$

Ответ: 3