Номер 20.11, страница 177 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 20. Случайные величины и их характеристики. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 20.11, страница 177.

20.11. Игральный кубик подбрасывают один раз и записывают количество натуральных делителей числа, выпавшего на кубике. Составьте таблицу распределения вероятностей случайной величины, изучаемой в этом испытании.

Пусть $X$ — это случайная величина, которая равна количеству натуральных делителей числа, выпавшего на игральном кубике. Испытание состоит в однократном подбрасывании кубика.

Возможные исходы при броске кубика — это выпадение одного из чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Всего 6 равновероятных исходов, вероятность каждого из которых равна $\frac{1}{6}$.

Определим значение случайной величины $X$ для каждого исхода:

• Если выпало число 1, его натуральные делители: {1}. Количество делителей равно 1. Следовательно, $X=1$.
• Если выпало число 2, его натуральные делители: {1, 2}. Количество делителей равно 2. Следовательно, $X=2$.
• Если выпало число 3, его натуральные делители: {1, 3}. Количество делителей равно 2. Следовательно, $X=2$.
• Если выпало число 4, его натуральные делители: {1, 2, 4}. Количество делителей равно 3. Следовательно, $X=3$.
• Если выпало число 5, его натуральные делители: {1, 5}. Количество делителей равно 2. Следовательно, $X=2$.
• Если выпало число 6, его натуральные делители: {1, 2, 3, 6}. Количество делителей равно 4. Следовательно, $X=4$.

Таким образом, случайная величина $X$ может принимать следующие значения: 1, 2, 3, 4.

Теперь вычислим вероятности для каждого возможного значения $X$:

• Событие $X=1$ (число имеет 1 делитель) наступает только при одном исходе (выпало число 1). Вероятность этого события: $P(X=1) = \frac{1}{6}$.
• Событие $X=2$ (число имеет 2 делителя) наступает при трех исходах (выпали числа 2, 3 или 5). Вероятность этого события: $P(X=2) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
• Событие $X=3$ (число имеет 3 делителя) наступает только при одном исходе (выпало число 4). Вероятность этого события: $P(X=3) = \frac{1}{6}$.
• Событие $X=4$ (число имеет 4 делителя) наступает только при одном исходе (выпало число 6). Вероятность этого события: $P(X=4) = \frac{1}{6}$.

Проверим, что сумма всех вероятностей равна 1: $\frac{1}{6} + \frac{3}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Теперь можно составить таблицу распределения вероятностей случайной величины $X$.

Ответ:

Таблица распределения вероятностей:

$X$ (количество делителей)	1	2	3	4
$P$ (вероятность)	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{6}$