Страница 177 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.10. В одной коробке лежат 2 шара, пронумерованные числами 1 и 2, а в другой – 3 шара, пронумерованные числами 1, 2 и 3. Из каждой коробки наугад берут по одному шару и записывают сумму чисел на взятых шарах. Какую случайную величину изучают в этом испытании? Составьте таблицу распределения вероятностей этой случайной величины.

Какую случайную величину изучают в этом испытании?

В задаче описан эксперимент, в котором из каждой из двух коробок берут по одному шару и записывают сумму чисел на них. Число, которое получается в результате случайного эксперимента, является случайной величиной. Таким образом, в данном испытании изучается случайная величина, представляющая собой сумму номеров, выпавших на двух шарах.

Ответ: Изучаемая случайная величина — это сумма чисел на взятых шарах.

Составьте таблицу распределения вероятностей этой случайной величины.

Для составления таблицы распределения вероятностей необходимо определить все возможные значения случайной величины и вероятности, с которыми они принимаются.
Пусть $X$ — это случайная величина (сумма чисел на шарах).
Первая коробка содержит шары с номерами $\{1, 2\}$.
Вторая коробка содержит шары с номерами $\{1, 2, 3\}$.

Общее число элементарных исходов эксперимента равно произведению количества шаров в каждой коробке, так как выбор из каждой коробки является независимым событием.
Общее число исходов: $N = 2 \times 3 = 6$.

Перечислим все возможные комбинации номеров шаров и соответствующие им суммы:

• Шар из первой коробки '1', из второй '1': сумма $X = 1+1=2$
• Шар из первой коробки '1', из второй '2': сумма $X = 1+2=3$
• Шар из первой коробки '1', из второй '3': сумма $X = 1+3=4$
• Шар из первой коробки '2', из второй '1': сумма $X = 2+1=3$
• Шар из первой коробки '2', из второй '2': сумма $X = 2+2=4$
• Шар из первой коробки '2', из второй '3': сумма $X = 2+3=5$

Случайная величина $X$ может принимать значения $\{2, 3, 4, 5\}$. Найдем вероятность для каждого значения:

• $P(X=2)$: Сумма равна 2 только для одной комбинации (1, 1). Вероятность: $P(X=2) = \frac{1}{6}$.
• $P(X=3)$: Сумма равна 3 для двух комбинаций (1, 2) и (2, 1). Вероятность: $P(X=3) = \frac{2}{6}$.
• $P(X=4)$: Сумма равна 4 для двух комбинаций (1, 3) и (2, 2). Вероятность: $P(X=4) = \frac{2}{6}$.
• $P(X=5)$: Сумма равна 5 только для одной комбинации (2, 3). Вероятность: $P(X=5) = \frac{1}{6}$.

Проверка: Сумма всех вероятностей должна быть равна 1.
$\frac{1}{6} + \frac{2}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Теперь можно составить таблицу распределения вероятностей:

Ответ: Таблица распределения вероятностей случайной величины $X$ представлена выше.

20.11. Игральный кубик подбрасывают один раз и записывают количество натуральных делителей числа, выпавшего на кубике. Составьте таблицу распределения вероятностей случайной величины, изучаемой в этом испытании.

Пусть $X$ — это случайная величина, которая равна количеству натуральных делителей числа, выпавшего на игральном кубике. Испытание состоит в однократном подбрасывании кубика.

Возможные исходы при броске кубика — это выпадение одного из чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Всего 6 равновероятных исходов, вероятность каждого из которых равна $\frac{1}{6}$.

Определим значение случайной величины $X$ для каждого исхода:

• Если выпало число 1, его натуральные делители: {1}. Количество делителей равно 1. Следовательно, $X=1$.
• Если выпало число 2, его натуральные делители: {1, 2}. Количество делителей равно 2. Следовательно, $X=2$.
• Если выпало число 3, его натуральные делители: {1, 3}. Количество делителей равно 2. Следовательно, $X=2$.
• Если выпало число 4, его натуральные делители: {1, 2, 4}. Количество делителей равно 3. Следовательно, $X=3$.
• Если выпало число 5, его натуральные делители: {1, 5}. Количество делителей равно 2. Следовательно, $X=2$.
• Если выпало число 6, его натуральные делители: {1, 2, 3, 6}. Количество делителей равно 4. Следовательно, $X=4$.

Таким образом, случайная величина $X$ может принимать следующие значения: 1, 2, 3, 4.

Теперь вычислим вероятности для каждого возможного значения $X$:

• Событие $X=1$ (число имеет 1 делитель) наступает только при одном исходе (выпало число 1). Вероятность этого события: $P(X=1) = \frac{1}{6}$.
• Событие $X=2$ (число имеет 2 делителя) наступает при трех исходах (выпали числа 2, 3 или 5). Вероятность этого события: $P(X=2) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
• Событие $X=3$ (число имеет 3 делителя) наступает только при одном исходе (выпало число 4). Вероятность этого события: $P(X=3) = \frac{1}{6}$.
• Событие $X=4$ (число имеет 4 делителя) наступает только при одном исходе (выпало число 6). Вероятность этого события: $P(X=4) = \frac{1}{6}$.

Проверим, что сумма всех вероятностей равна 1: $\frac{1}{6} + \frac{3}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1$.

Теперь можно составить таблицу распределения вероятностей случайной величины $X$.

Ответ:

Таблица распределения вероятностей:

20.12. Монету подбрасывают не более пяти раз до тех пор, пока первый раз не выпадет герб, и записывают, сколько раз пришлось подбросить монету. Составьте таблицу распределения вероятностей изучаемой случайной величины.

Пусть $X$ – это изучаемая случайная величина, равная количеству подбрасываний монеты. Эксперимент продолжается до первого выпадения герба, но выполняется не более пяти раз. Это означает, что возможные значения для $X$ – это 1, 2, 3, 4, 5.

Будем считать монету симметричной, то есть вероятность выпадения герба (Г) равна вероятности выпадения решки (Р) и составляет $P(Г) = P(Р) = \frac{1}{2}$.

Найдем вероятности для каждого возможного значения $X$.

Для X = 1. Это событие означает, что герб выпал при первом же подбрасывании. Последовательность исходов: Г. Вероятность этого события: $P(X=1) = P(Г) = \frac{1}{2}$.

Для X = 2. Это событие означает, что сначала выпала решка, а затем герб. Последовательность исходов: РГ. Вероятность этого события: $P(X=2) = P(Р) \cdot P(Г) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.

Для X = 3. Это событие означает, что сначала выпали две решки, а затем герб. Последовательность исходов: РРГ. Вероятность этого события: $P(X=3) = P(Р) \cdot P(Р) \cdot P(Г) = (\frac{1}{2})^3 = \frac{1}{8}$.

Для X = 4. Это событие означает, что сначала выпали три решки, а затем герб. Последовательность исходов: РРРГ. Вероятность этого события: $P(X=4) = P(Р)^3 \cdot P(Г) = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$.

Для X = 5. Это событие происходит, если эксперимент дошел до пятого броска. Это случается, когда в первых четырех бросках герб не выпал (последовательность РРРР). По условию, после пятого броска эксперимент прекращается независимо от его исхода. Таким образом, событие $X=5$ наступает, если первые четыре броска были решками. Вероятность этого: $P(X=5) = P(РРРР) = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$.

Проверим, что сумма всех вероятностей равна 1: $\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{8}{16} + \frac{4}{16} + \frac{2}{16} + \frac{1}{16} + \frac{1}{16} = \frac{16}{16} = 1$. Расчеты верны.

Таблица распределения вероятностей для случайной величины $X$ имеет следующий вид:

Ответ:

20.13. Игральный кубик подбрасывают не более трёх раз до тех пор, пока первый раз не выпадет шестёрка, и записывают, сколько раз пришлось подбросить кубик. Составьте таблицу распределения вероятностей записанной случайной величины.

Пусть $X$ — это случайная величина, равная количеству подбрасываний игрального кубика. Согласно условию задачи, эксперимент продолжается до тех пор, пока не выпадет шестёрка, но выполняется не более трёх бросков. Это означает, что случайная величина $X$ (количество бросков) может принимать значения 1, 2 или 3.

Определим вероятность выпадения шестёрки (назовем это событие "успех") и невыпадения шестёрки ("неудача") при одном броске:
Вероятность успеха (выпала шестёрка): $p = 1/6$.
Вероятность неудачи (шестёрка не выпала): $q = 1 - p = 1 - 1/6 = 5/6$.

Теперь рассчитаем вероятности для каждого возможного значения случайной величины $X$.

Случай 1: $X = 1$ (был сделан один бросок)
Это событие происходит, если шестёрка выпадает при первом же броске. Вероятность этого равна:
$P(X=1) = p = 1/6$.

Случай 2: $X = 2$ (было сделано два броска)
Это событие происходит, если при первом броске шестёрка не выпала (неудача), а при втором — выпала (успех). Так как броски являются независимыми событиями, их вероятности перемножаются:
$P(X=2) = q \cdot p = \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{36}$.

Случай 3: $X = 3$ (было сделано три броска)
Это событие происходит, если шестёрка не выпала ни в первом, ни во втором броске. Эксперимент в этом случае продолжается до третьего броска и заканчивается после него, независимо от результата третьего броска (так как максимальное количество бросков равно трём). Таким образом, для того чтобы было совершено три броска, необходимо, чтобы первые два были неудачными:
$P(X=3) = q \cdot q = \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$.

Для проверки правильности расчётов сложим полученные вероятности. Их сумма должна быть равна 1:
$P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = \frac{1}{6} + \frac{5}{36} + \frac{25}{36} = \frac{6}{36} + \frac{5}{36} + \frac{25}{36} = \frac{6 + 5 + 25}{36} = \frac{36}{36} = 1$.
Сумма вероятностей равна 1, следовательно, распределение найдено верно.

Составим итоговую таблицу распределения вероятностей для данной случайной величины.

Ответ:

20.14. В сборную команду России на Международной математической олимпиаде входит 6 человек. На основании результатов выступления команды за прошлые годы распределение вероятностей количества золотых медалей, завоёванных ей на олимпиаде, можно оценить так:

Количество золотых медалей в команде: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6

Вероятность, %: 0, 0, 20, 20, 30, 20, 10

Найдите математическое ожидание количества золотых медалей команды России на очередной Международной математической олимпиаде.

Для нахождения математического ожидания количества золотых медалей необходимо вычислить взвешенное среднее всех возможных значений, где в качестве весов выступают их вероятности.

Математическое ожидание $E(X)$ для дискретной случайной величины $X$ вычисляется по формуле:
$E(X) = \sum_{i} x_i \cdot p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n$
где $x_i$ — это $i$-е возможное значение случайной величины (количество золотых медалей), а $p_i$ — это вероятность этого значения.

Согласно таблице, у нас есть следующие значения и их вероятности (переведенные из процентов в десятичные дроби):

Количество медалей ($x_i$): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Соответствующие вероятности ($p_i$): 0.00, 0.00, 0.20, 0.20, 0.30, 0.20, 0.10.

Проверим, что сумма всех вероятностей равна 1:
$0.00 + 0.00 + 0.20 + 0.20 + 0.30 + 0.20 + 0.10 = 1.00$
Сумма вероятностей верна.

Теперь подставим значения в формулу математического ожидания:
$E(X) = (0 \cdot 0.00) + (1 \cdot 0.00) + (2 \cdot 0.20) + (3 \cdot 0.20) + (4 \cdot 0.30) + (5 \cdot 0.20) + (6 \cdot 0.10)$

Выполним вычисления:
$E(X) = 0 + 0 + 0.4 + 0.6 + 1.2 + 1.0 + 0.6$

Сложим полученные значения:
$E(X) = 3.8$

Следовательно, математическое ожидание количества золотых медалей команды России составляет 3,8.

Ответ: 3,8

20.15. В сборную команду России на Международной математической олимпиаде входит 6 человек. На основании результатов выступления команды за прошлые годы распределение вероятностей количества серебряных медалей, завоёванных ей на олимпиаде, можно оценить так:

Найдите математическое ожидание количества серебряных медалей команды России на очередной Международной математической олимпиаде.

Математическое ожидание случайной величины — это среднее значение всех её возможных значений, взвешенное по их вероятностям. Чтобы найти математическое ожидание количества серебряных медалей, нужно умножить каждое возможное количество медалей на его вероятность и сложить полученные произведения.

Пусть $X$ — случайная величина, равная количеству серебряных медалей. Данные из таблицы распределения вероятностей можно представить следующим образом, предварительно переведя проценты в десятичные дроби:

• Количество медалей $x_1 = 0$ с вероятностью $p_1 = 10\% = 0.10$
• Количество медалей $x_2 = 1$ с вероятностью $p_2 = 25\% = 0.25$
• Количество медалей $x_3 = 2$ с вероятностью $p_3 = 45\% = 0.45$
• Количество медалей $x_4 = 3$ с вероятностью $p_4 = 15\% = 0.15$
• Количество медалей $x_5 = 4$ с вероятностью $p_5 = 5\% = 0.05$
• Количество медалей $x_6 = 5$ с вероятностью $p_6 = 0\% = 0.00$
• Количество медалей $x_7 = 6$ с вероятностью $p_7 = 0\% = 0.00$

Математическое ожидание $E(X)$ вычисляется по формуле для дискретной случайной величины:

$E(X) = \sum_{i} x_i \cdot p_i$

Подставим значения в формулу:

$E(X) = (0 \cdot 0.10) + (1 \cdot 0.25) + (2 \cdot 0.45) + (3 \cdot 0.15) + (4 \cdot 0.05) + (5 \cdot 0.00) + (6 \cdot 0.00)$

Проведём вычисления для каждого слагаемого:

$E(X) = 0 + 0.25 + 0.90 + 0.45 + 0.20 + 0 + 0$

Теперь сложим все полученные значения:

$E(X) = 1.8$

Таким образом, математическое ожидание количества серебряных медалей, которые завоюет команда России на олимпиаде, составляет 1,8.

Ответ: 1,8.