Страница 176 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.6. По таблице распределения вероятностей случайной величины $x$ найдите значение переменной $a$.

1) Значение $x$: 0, 12, 48

Вероятность: 0,27, 0,05, $a$

2) Значение $x$: $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$

Вероятность, %: 17, 30, $a$, 29, 24

3) Значение $x$: 1, 2, 3, 4

Вероятность: $a$, $4a$, $9a$, $16a$

1)

Для любой таблицы распределения вероятностей случайной величины сумма всех вероятностей должна быть равна 1. На основе этого свойства составим уравнение для данных из таблицы.

$P(x=0) + P(x=12) + P(x=48) = 1$

Подставим известные значения вероятностей:

$0,27 + 0,05 + a = 1$

Сложим известные вероятности:

$0,32 + a = 1$

Теперь выразим и найдем a:

$a = 1 - 0,32$

$a = 0,68$

Ответ: $a = 0,68$

2)

В этой таблице вероятности представлены в процентах. Сумма всех вероятностей в процентах должна быть равна 100%. Составим соответствующее уравнение.

$17\% + 30\% + a\% + 29\% + 24\% = 100\%$

Для удобства вычислений можно опустить знак процента:

$17 + 30 + a + 29 + 24 = 100$

Найдем сумму известных слагаемых:

$17 + 30 + 29 + 24 = 100$

Подставим полученное значение в уравнение:

$100 + a = 100$

Отсюда находим a:

$a = 100 - 100$

$a = 0$

Ответ: $a = 0$

3)

Аналогично первому пункту, сумма всех вероятностей должна быть равна 1. Составим уравнение на основе данных из таблицы.

$P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) + P(x=4) = 1$

Подставим значения вероятностей, выраженные через a:

$a + 4a + 9a + 16a = 1$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$(1 + 4 + 9 + 16)a = 1$

$30a = 1$

Теперь найдем значение a:

$a = \frac{1}{30}$

Ответ: $a = \frac{1}{30}$

20.7. Дана таблица распределения вероятностей случайной величины $x$.

Найдите:

1. $P(x = 5)$;
2. $P(x = 1)$;
3. $P(x \ge 7)$;
4. $P(x < 5)$;
5. $P(2 \le x < 8)$.

В данной задаче представлена таблица распределения вероятностей для дискретной случайной величины $x$. Вероятности даны в процентах. Для нахождения требуемых вероятностей будем использовать данные из таблицы.

Прежде всего, для удобства переведем вероятности из процентов в доли единицы, разделив каждое значение на 100:

• $P(x=0) = 9\% = 0.09$
• $P(x=2) = 26\% = 0.26$
• $P(x=5) = 35\% = 0.35$
• $P(x=7) = 11\% = 0.11$
• $P(x=12) = 7\% = 0.07$
• $P(x=20) = 12\% = 0.12$

Проверим, что сумма всех вероятностей равна 1 (или 100%): $9 + 26 + 35 + 11 + 7 + 12 = 100\%$, что подтверждает корректность данных.

1) $P(x = 5)$. Это вероятность того, что случайная величина $x$ примет значение 5. Данное значение можно найти непосредственно в таблице. В строке "Вероятность, %" под значением $x=5$ указано число 35. Следовательно, искомая вероятность равна 35%.
Ответ: 35% или 0,35.

2) $P(x = 1)$. Случайная величина $x$ может принимать только те значения, которые указаны в верхней строке таблицы: 0, 2, 5, 7, 12, 20. Значение $x=1$ отсутствует в этом списке, поэтому событие $x=1$ является невозможным для данной случайной величины. Вероятность невозможного события равна нулю.
Ответ: 0% или 0.

3) $P(x \ge 7)$. Это вероятность того, что случайная величина $x$ примет значение, большее или равное 7. Из таблицы видно, что этому условию удовлетворяют значения $x=7$, $x=12$ и $x=20$. Поскольку события, заключающиеся в том, что $x$ принимает эти значения, являются несовместными, искомую вероятность можно найти как сумму их вероятностей: $P(x \ge 7) = P(x=7) + P(x=12) + P(x=20)$. Подставляя значения из таблицы: $P(x \ge 7) = 11\% + 7\% + 12\% = 30\%$.
Ответ: 30% или 0,3.

4) $P(x < 5)$. Это вероятность того, что случайная величина $x$ примет значение, строго меньшее 5. Этому условию удовлетворяют значения $x=0$ и $x=2$. Искомая вероятность равна сумме вероятностей этих несовместных событий: $P(x < 5) = P(x=0) + P(x=2)$. Подставляя значения из таблицы: $P(x < 5) = 9\% + 26\% = 35\%$.
Ответ: 35% или 0,35.

5) $P(2 \le x < 8)$. Это вероятность того, что случайная величина $x$ примет значение, большее или равное 2, но строго меньшее 8. Этому двойному неравенству из списка возможных значений удовлетворяют $x=2$, $x=5$ и $x=7$. Искомая вероятность равна сумме вероятностей этих несовместных событий: $P(2 \le x < 8) = P(x=2) + P(x=5) + P(x=7)$. Подставляя значения из таблицы: $P(2 \le x < 8) = 26\% + 35\% + 11\% = 72\%$.
Ответ: 72% или 0,72.

20.8. Дана таблица распределения вероятностей случайной величины y.

Значение y: -3, -2, -1, 1, 2, 3

Вероятность: 0,02, 0,09, 0,36, 0,28, 0,14, 0,11

Найдите:

1) $P(y = 3)$;

2) $P(y \ge 0)$;

3) $P(y < 5)$;

4) $P(-2 < y \le 2)$.

Для решения задачи используется данная таблица распределения вероятностей. Вероятность события, состоящего из нескольких несовместных исходов (значений случайной величины), равна сумме вероятностей этих исходов.

1) $P(y = 3)$;

Чтобы найти вероятность того, что случайная величина $y$ примет значение 3, необходимо найти в таблице значение вероятности, которое соответствует значению $y = 3$.

Согласно таблице, при $y = 3$ вероятность равна 0,11.

$P(y = 3) = 0,11$

Ответ: 0,11.

2) $P(y \ge 0)$;

Событие $y \ge 0$ означает, что случайная величина $y$ принимает значение, большее или равное нулю. Из представленных в таблице значений этому условию удовлетворяют $y = 1$, $y = 2$ и $y = 3$. Так как эти события (принятие каждого из значений) несовместны, искомая вероятность равна сумме их вероятностей:

$P(y \ge 0) = P(y = 1) + P(y = 2) + P(y = 3)$

Подставляя значения из таблицы, получаем:

$P(y \ge 0) = 0,28 + 0,14 + 0,11 = 0,53$

Ответ: 0,53.

3) $P(y < 5)$;

Событие $y < 5$ означает, что случайная величина $y$ принимает значение, строго меньшее 5. Все возможные значения случайной величины $y$, указанные в таблице ($-3, -2, -1, 1, 2, 3$), удовлетворяют этому условию. Таким образом, это событие является достоверным для данного распределения, и его вероятность равна сумме вероятностей всех возможных исходов.

$P(y < 5) = P(y = -3) + P(y = -2) + P(y = -1) + P(y = 1) + P(y = 2) + P(y = 3)$

Сумма всех вероятностей в таблице распределения всегда равна 1.

$0,02 + 0,09 + 0,36 + 0,28 + 0,14 + 0,11 = 1$

Следовательно, $P(y < 5) = 1$.

Ответ: 1.

4) $P(-2 < y \le 2)$.

Событие $-2 < y \le 2$ означает, что случайная величина $y$ принимает значение, строго большее –2 и не превышающее 2. Из таблицы распределения этому условию соответствуют значения $y = -1$, $y = 1$ и $y = 2$. Чтобы найти искомую вероятность, необходимо сложить вероятности этих несовместных событий.

$P(-2 < y \le 2) = P(y = -1) + P(y = 1) + P(y = 2)$

Подставляя значения из таблицы, получаем:

$P(-2 < y \le 2) = 0,36 + 0,28 + 0,14 = 0,78$

Ответ: 0,78.

20.9. Игральный кубик подбрасывают два раза и записывают сумму чисел, выпавших на кубике. Какую случайную величину изучают в этом испытании? Составьте таблицу распределения вероятностей этой случайной величины.

Какую случайную величину изучают в этом испытании?

В данном эксперименте подбрасывают игральный кубик два раза и записывают сумму выпавших чисел. Таким образом, изучаемая случайная величина — это сумма чисел (очков), полученная в результате двух бросков. Обозначим эту случайную величину как $X$.

Ответ: Сумма чисел, выпавших на кубике при двух бросках.

Составьте таблицу распределения вероятностей этой случайной величины.

Чтобы составить таблицу распределения, необходимо найти все возможные значения случайной величины $X$ и соответствующие им вероятности.

1. Находим общее число исходов. При каждом броске кубика возможно 6 исходов (числа от 1 до 6). Так как броска два, общее число равновозможных элементарных исходов равно $N = 6 \times 6 = 36$.

2. Находим возможные значения случайной величины $X$.
Минимальная сумма: $1 + 1 = 2$.
Максимальная сумма: $6 + 6 = 12$.
Таким образом, $X$ может принимать любые целые значения из диапазона [2, 12].

3. Находим вероятности для каждого значения $X$. Вероятность $P(X=k)$ равна отношению числа благоприятных исходов $m_k$ (количества комбинаций, дающих сумму $k$) к общему числу исходов $N$.

• Для $X=2$: комбинация (1,1). $m_2 = 1$. $P(X=2) = \frac{1}{36}$.
• Для $X=3$: (1,2), (2,1). $m_3 = 2$. $P(X=3) = \frac{2}{36}$.
• Для $X=4$: (1,3), (2,2), (3,1). $m_4 = 3$. $P(X=4) = \frac{3}{36}$.
• Для $X=5$: (1,4), (2,3), (3,2), (4,1). $m_5 = 4$. $P(X=5) = \frac{4}{36}$.
• Для $X=6$: (1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1). $m_6 = 5$. $P(X=6) = \frac{5}{36}$.
• Для $X=7$: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). $m_7 = 6$. $P(X=7) = \frac{6}{36}$.
• Для $X=8$: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2). $m_8 = 5$. $P(X=8) = \frac{5}{36}$.
• Для $X=9$: (3,6), (4,5), (5,4), (6,3). $m_9 = 4$. $P(X=9) = \frac{4}{36}$.
• Для $X=10$: (4,6), (5,5), (6,4). $m_{10} = 3$. $P(X=10) = \frac{3}{36}$.
• Для $X=11$: (5,6), (6,5). $m_{11} = 2$. $P(X=11) = \frac{2}{36}$.
• Для $X=12$: (6,6). $m_{12} = 1$. $P(X=12) = \frac{1}{36}$.

Проверка: сумма всех вероятностей $\sum P(X=k) = \frac{1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1}{36} = \frac{36}{36} = 1$.

Ответ: