Страница 175 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

20.1. Завуч школы обходит классы и записывает количество учеников, присутствующих на уроке. Какую случайную величину рассматривает завуч в этом испытании?

В данном контексте испытанием является действие завуча — посещение класса и подсчет учеников. Результатом этого испытания является число.

Переменная величина, которую завуч записывает — «количество учеников, присутствующих на уроке», — является случайной величиной. Это связано с тем, что её конкретное значение заранее неизвестно и может меняться в зависимости от случайных факторов. Например, при посещении разных классов или одного и того же класса в разные дни, количество присутствующих учеников, скорее всего, будет различным из-за болезней или других причин отсутствия.

Данная случайная величина является дискретной, так как она может принимать только отдельные, целочисленные значения (например, $25, 26, 27$ учеников), и не может принимать промежуточные значения (например, $25.5$ учеников). Множество её возможных значений — это целые числа от $0$ до максимального числа учеников в классе.

Ответ: Количество учеников, присутствующих на уроке.

20.2. В коробке лежат 15 шаров, из которых пять шаров подписаны числом 1, а оставшиеся 10 шаров – числом 2. Из коробки наугад берут один шар и фиксируют число, написанное на этом шаре. Какую случайную величину изучают в этом испытании? Укажите множество значений и составьте таблицу распределения вероятностей этой случайной величины.

Какую случайную величину изучают в этом испытании?

В данном испытании изучается случайная величина, которая представляет собой число, написанное на наугад извлеченном шаре. Обозначим эту случайную величину как $X$. Значение этой величины определяется случайным образом в результате эксперимента.

Ответ: Изучаемая случайная величина — это «число, написанное на извлеченном шаре».

Укажите множество значений

Согласно условию задачи, в коробке находятся шары с номерами 1 и 2. Следовательно, случайная величина $X$ может принимать только эти два значения.

Ответ: Множество значений случайной величины $X$ есть $\{1, 2\}$.

составьте таблицу распределения вероятностей этой случайной величины

Для составления таблицы распределения необходимо найти вероятности каждого из возможных значений случайной величины. Вероятность события вычисляется по классической формуле вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ – общее число равновозможных исходов, а $m$ – число исходов, благоприятствующих событию.

Всего в коробке находится $n = 15$ шаров. Это общее число исходов.

Найдем вероятность того, что на вынутом шаре будет число 1. Количество шаров с числом 1 (число благоприятствующих исходов) равно $m_1 = 5$. Вероятность этого события:

$P(X=1) = \frac{m_1}{n} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}$

Найдем вероятность того, что на вынутом шаре будет число 2. Количество шаров с числом 2 (число благоприятствующих исходов) равно $m_2 = 10$. Вероятность этого события:

$P(X=2) = \frac{m_2}{n} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$

Для проверки убедимся, что сумма вероятностей всех возможных значений равна 1:

$P(X=1) + P(X=2) = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = \frac{3}{3} = 1$.

Теперь можно составить таблицу распределения вероятностей, которая сопоставляет каждому значению случайной величины его вероятность.

Ответ:

20.3. Игральный кубик подбрасывают один раз и записывают число, выпавшее на кубике. Какую случайную величину изучают в этом испытании? Укажите множество значений и составьте таблицу распределения вероятностей этой случайной величины.

Какую случайную величину изучают в этом испытании?
В данном испытании изучается случайная величина, обозначим ее $X$, которая представляет собой число очков, выпавшее на верхней грани игрального кубика.

Укажите множество значений
Стандартный игральный кубик имеет шесть граней, на которых нанесены числа от 1 до 6. Таким образом, множество возможных значений, которые может принять случайная величина $X$, следующее: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.

Составьте таблицу распределения вероятностей этой случайной величины
При подбрасывании правильного (симметричного) игрального кубика каждый из шести исходов является равновероятным. Общее число возможных исходов равно $n=6$.
Вероятность каждого конкретного исхода (выпадения числа $k$, где $k$ — любое число от 1 до 6) вычисляется по классической формуле вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.
В нашем случае для любого значения $x_i$ из множества $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, число благоприятствующих исходов $m=1$. Таким образом, вероятность выпадения любого числа от 1 до 6 одинакова и равна: $P(X=k) = \frac{1}{6}$.
На основе этих данных составляется таблица распределения вероятностей, которая является одной из форм задания закона распределения случайной величины. Сумма всех вероятностей в таблице должна быть равна 1, что и выполняется: $\sum p_i = 6 \times \frac{1}{6} = 1$.

Ответ:
Изучаемая случайная величина: число очков, выпавшее на кубике.
Множество ее значений: $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
Таблица распределения вероятностей этой случайной величины:

20.4. По таблице распределения вероятностей случайной величины $x$ найдите значение переменной $a$.

1) Значение $x$: 1, 2, 3, 4, 5

Вероятность: 0,17, 0,17, 0,17, 0,17, $a$

2) Значение $x$: -1, -2, -3, -4

Вероятность: $4a$, $3a$, $2a$, $a$

3) Значение $x$: $x_0$, $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$

Вероятность, %: 25, $b$, 21, $a$, 38, $-a$

1)

Основное свойство таблицы распределения вероятностей случайной величины заключается в том, что сумма всех вероятностей должна быть равна 1. Для данной таблицы мы можем составить уравнение, просуммировав все вероятности: $0,17 + 0,17 + 0,17 + 0,17 + a = 1$

Сложим известные вероятности: $4 \times 0,17 + a = 1$ $0,68 + a = 1$

Теперь найдем значение a, вычев из 1 сумму известных вероятностей: $a = 1 - 0,68$ $a = 0,32$

Поскольку любая вероятность должна быть неотрицательным числом, а $a = 0,32$ является положительным числом, это значение является допустимым.
Ответ: 0,32.

2)

Сумма всех вероятностей в таблице распределения должна быть равна 1. Составим уравнение на основе данных из таблицы: $4a + 3a + 2a + a = 1$

Упростим левую часть уравнения, сложив все коэффициенты при a: $(4 + 3 + 2 + 1)a = 1$ $10a = 1$

Решим уравнение относительно a: $a = \frac{1}{10}$ $a = 0,1$

Проверим, что все вероятности являются неотрицательными числами. При $a = 0,1$ вероятности равны $4a = 0,4$, $3a = 0,3$, $2a = 0,2$, $a = 0,1$. Все значения положительны и, следовательно, допустимы.
Ответ: 0,1.

3)

В данном случае вероятности указаны в процентах, поэтому их сумма должна быть равна 100%. Кроме того, каждая вероятность по определению должна быть неотрицательным числом, то есть больше или равна нулю.

Рассмотрим вероятности, которые выражены через переменную a: Вероятность, соответствующая значению $x_3$, равна a. Вероятность, соответствующая значению $x_5$, равна -a.

Из условия неотрицательности вероятности мы получаем систему из двух неравенств: $a \ge 0$ $-a \ge 0$

Из второго неравенства, умножив обе части на -1 (и изменив знак неравенства на противоположный), получаем: $a \le 0$

Единственное число, которое одновременно удовлетворяет обоим условиям, $a \ge 0$ и $a \le 0$, — это ноль. Следовательно: $a = 0$

Заметим, что из условия равенства суммы вероятностей 100% можно найти переменную b: $25 + b + 21 + a + 38 + (-a) = 100 \Rightarrow 84 + b = 100 \Rightarrow b = 16$. Однако для нахождения a необходимо использовать именно свойство неотрицательности вероятности.
Ответ: 0.

20.5. Может ли следующая таблица задавать распределение вероятностей случайной величины $x$?

Для того чтобы таблица задавала распределение вероятностей дискретной случайной величины, должны одновременно выполняться два условия:
1. Все вероятности должны быть неотрицательными, то есть $p_i \ge 0$ для каждого возможного значения случайной величины $x_i$.
2. Сумма всех вероятностей должна быть равна единице, то есть $\sum p_i = 1$.

Проверим выполнение этих условий для данных из таблицы.

Первое условие. Все вероятности, указанные в таблице (0,47; 0,02; 0,19; 0,17; 0,16), являются положительными числами, а значит, и неотрицательными. Это условие выполняется.

Второе условие. Найдем сумму всех вероятностей:
$0,47 + 0,02 + 0,19 + 0,17 + 0,16 = 1,01$
Сумма вероятностей равна $1,01$, что не равно $1$.

Поскольку второе обязательное условие (равенство суммы вероятностей единице) не выполняется, данная таблица не может задавать распределение вероятностей случайной величины $x$.
Ответ: Нет, не может.