Номер 20.4, страница 175 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 4. Элементы теории вероятностей. Параграф 20. Случайные величины и их характеристики. Упражнения - номер 20.4, страница 175.

Учебник.

20.4. По таблице распределения вероятностей случайной величины $x$ найдите значение переменной $a$.

1) Значение $x$: 1, 2, 3, 4, 5

Вероятность: 0,17, 0,17, 0,17, 0,17, $a$

2) Значение $x$: -1, -2, -3, -4

Вероятность: $4a$, $3a$, $2a$, $a$

3) Значение $x$: $x_0$, $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$, $x_5$

Вероятность, %: 25, $b$, 21, $a$, 38, $-a$

Решение.

Решение 2.

1)

Основное свойство таблицы распределения вероятностей случайной величины заключается в том, что сумма всех вероятностей должна быть равна 1. Для данной таблицы мы можем составить уравнение, просуммировав все вероятности: $0,17 + 0,17 + 0,17 + 0,17 + a = 1$

Сложим известные вероятности: $4 \times 0,17 + a = 1$ $0,68 + a = 1$

Теперь найдем значение a, вычев из 1 сумму известных вероятностей: $a = 1 - 0,68$ $a = 0,32$

Поскольку любая вероятность должна быть неотрицательным числом, а $a = 0,32$ является положительным числом, это значение является допустимым.
Ответ: 0,32.

2)

Сумма всех вероятностей в таблице распределения должна быть равна 1. Составим уравнение на основе данных из таблицы: $4a + 3a + 2a + a = 1$

Упростим левую часть уравнения, сложив все коэффициенты при a: $(4 + 3 + 2 + 1)a = 1$ $10a = 1$

Решим уравнение относительно a: $a = \frac{1}{10}$ $a = 0,1$

Проверим, что все вероятности являются неотрицательными числами. При $a = 0,1$ вероятности равны $4a = 0,4$, $3a = 0,3$, $2a = 0,2$, $a = 0,1$. Все значения положительны и, следовательно, допустимы.
Ответ: 0,1.

3)

В данном случае вероятности указаны в процентах, поэтому их сумма должна быть равна 100%. Кроме того, каждая вероятность по определению должна быть неотрицательным числом, то есть больше или равна нулю.

Рассмотрим вероятности, которые выражены через переменную a: Вероятность, соответствующая значению $x_3$, равна a. Вероятность, соответствующая значению $x_5$, равна -a.

Из условия неотрицательности вероятности мы получаем систему из двух неравенств: $a \ge 0$ $-a \ge 0$

Из второго неравенства, умножив обе части на -1 (и изменив знак неравенства на противоположный), получаем: $a \le 0$

Единственное число, которое одновременно удовлетворяет обоим условиям, $a \ge 0$ и $a \le 0$, — это ноль. Следовательно: $a = 0$

Заметим, что из условия равенства суммы вероятностей 100% можно найти переменную b: $25 + b + 21 + a + 38 + (-a) = 100 \Rightarrow 84 + b = 100 \Rightarrow b = 16$. Однако для нахождения a необходимо использовать именно свойство неотрицательности вероятности.
Ответ: 0.