Номер 4, страница 174 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 4. Элементы теории вероятностей. Параграф 20. Случайные величины и их характеристики. Вопросы к параграфу - номер 4, страница 174.

Учебник.

4. Какое распределение вероятностей называют биномиальным?

Решение 2.

Биномиальное распределение — это одно из наиболее фундаментальных и широко используемых дискретных распределений вероятностей в теории вероятностей и статистике. Оно описывает вероятность получения определённого числа "успехов" в серии из n независимых испытаний, при условии, что каждое испытание имеет только два возможных исхода.

Для того чтобы распределение случайной величины можно было считать биномиальным, должны выполняться следующие условия, известные как схема испытаний Бернулли:

1. Проводится фиксированное количество независимых испытаний, обозначаемое как $n$. Независимость означает, что исход одного испытания не влияет на исходы других.

2. Каждое испытание имеет ровно два взаимоисключающих исхода. Условно их называют "успех" и "неудача".

3. Вероятность "успеха", обозначаемая как $p$, остаётся постоянной для каждого испытания.

4. Соответственно, вероятность "неудачи", обозначаемая как $q$, также постоянна и равна $q = 1 - p$.

Вероятность того, что в $n$ испытаниях произойдёт ровно $k$ успехов, вычисляется по формуле Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$

где:

$P_n(k)$ — вероятность наступления ровно $k$ успехов в $n$ испытаниях.

$n$ — общее число испытаний.

$k$ — число успехов, вероятность которого мы ищем (где $0 \le k \le n$).

$p$ — вероятность успеха в одном испытании.

$q$ — вероятность неудачи в одном испытании ($q = 1-p$).

$C_n^k$ — биномиальный коэффициент, который показывает число сочетаний из $n$ по $k$. Он рассчитывается по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ и определяет, сколькими способами можно выбрать $k$ успешных испытаний из $n$ общих.

Название "биномиальное" происходит от того, что вероятности $P_n(k)$ для $k = 0, 1, ..., n$ являются членами разложения бинома Ньютона:

$(p+q)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k p^k q^{n-k}$

Поскольку $p+q=1$, то и сумма всех вероятностей $\sum_{k=0}^{n} P_n(k)$ также равна 1, что является обязательным свойством любого распределения вероятностей.

Пример:
Предположим, мы 5 раз подбрасываем симметричную монету. Какова вероятность, что орёл ("успех") выпадет ровно 3 раза?

Здесь:
$n = 5$ (число испытаний)
$k = 3$ (число желаемых успехов)
$p = 0.5$ (вероятность выпадения орла)
$q = 1 - 0.5 = 0.5$ (вероятность выпадения решки)

Число сочетаний $C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{120}{6 \cdot 2} = 10$.

Тогда искомая вероятность равна:
$P_5(3) = C_5^3 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^{5-3} = 10 \cdot (0.5)^3 \cdot (0.5)^2 = 10 \cdot 0.125 \cdot 0.25 = 0.3125$.

Ответ: Биномиальным называют распределение вероятностей дискретной случайной величины, представляющей собой число "успехов" в конечной серии из $n$ независимых одинаковых случайных экспериментов (так называемых испытаний Бернулли), в каждом из которых вероятность "успеха" $p$ постоянна.