Номер 19.19, страница 169 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения для повторения. § 19. Схема Бернулли. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 19.19, страница 169.

19.19. Решите неравенство:

1) $(x + 10)\sqrt{x - 4} \le 0;$

2) $(x + 1)\sqrt{x + 4}\sqrt{x + 7} \le 0.$

1) $(x+10)\sqrt{x-4} \le 0$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком корня должно быть неотрицательным:

$x - 4 \ge 0$

$x \ge 4$

Таким образом, ОДЗ: $x \in [4, +\infty)$.

На этой области множитель $\sqrt{x-4}$ всегда неотрицателен, то есть $\sqrt{x-4} \ge 0$.

Рассмотрим второй множитель $(x+10)$. Для любого $x$ из ОДЗ ($x \ge 4$), имеем $x+10 \ge 4+10 = 14$. Следовательно, множитель $(x+10)$ на ОДЗ всегда строго положителен.

Левая часть неравенства представляет собой произведение положительного числа $(x+10)$ и неотрицательного числа $\sqrt{x-4}$. Такое произведение всегда будет неотрицательным: $(x+10)\sqrt{x-4} \ge 0$ при $x \ge 4$.

Исходное неравенство $(x+10)\sqrt{x-4} \le 0$ может выполняться только в том случае, когда левая часть равна нулю.

$(x+10)\sqrt{x-4} = 0$

Это равенство достигается, если один из множителей равен нулю. Так как $x+10 > 0$ на ОДЗ, то равенство возможно только при:

$\sqrt{x-4} = 0$

$x-4=0$

$x=4$

Значение $x=4$ принадлежит ОДЗ.

Ответ: $\{4\}$

2) $(x+1)\sqrt{x+4\sqrt{x}+7} \le 0$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). В неравенстве есть два подкоренных выражения.

1. Из внутреннего корня $\sqrt{x}$ следует, что $x \ge 0$.

2. Из внешнего корня следует, что $x+4\sqrt{x}+7 \ge 0$.

Проанализируем второе условие. Поскольку $x \ge 0$, то $\sqrt{x} \ge 0$. Следовательно, $4\sqrt{x} \ge 0$. Выражение $x+4\sqrt{x}+7$ является суммой неотрицательного числа $x$, неотрицательного числа $4\sqrt{x}$ и положительного числа $7$. Поэтому $x+4\sqrt{x}+7 \ge 0+0+7=7$. Это выражение всегда строго положительно при $x \ge 0$.

Таким образом, ОДЗ определяется только первым условием: $x \in [0, +\infty)$.

Вернемся к неравенству. Мы установили, что на ОДЗ выражение $x+4\sqrt{x}+7$ всегда положительно. Значит, и корень из него $\sqrt{x+4\sqrt{x}+7}$ также всегда является строго положительным числом.

Поскольку мы умножаем $(x+1)$ на строго положительное число, знак всего произведения зависит только от знака множителя $(x+1)$. Таким образом, неравенство равносильно следующему:

$x+1 \le 0$

$x \le -1$

Теперь необходимо найти решение, удовлетворяющее одновременно и полученному условию $x \le -1$, и ОДЗ $x \ge 0$. Составим систему:

$\begin{cases} x \le -1 \\ x \ge 0 \end{cases}$

Эта система не имеет решений, так как не существует числа, которое одновременно меньше или равно $-1$ и больше или равно $0$.

Ответ: $\emptyset$