Номер 19.16, страница 168 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 19. Схема Бернулли. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 19.16, страница 168.

19.16. Гроссмейстер проводит сеанс одновременной игры в шахматы на 40 досках. Вероятность того, что гроссмейстер выиграет каждую отдельную партию, равна 97%. Какова вероятность того, что в сеансе гроссмейстер выиграет не менее 38 партий?

Данная задача описывает серию независимых испытаний (партий в шахматы), поэтому для ее решения используется формула Бернулли. Каждая партия — это одно испытание.

Определим параметры задачи:

$n = 40$ — общее количество испытаний (партий).

$p = 0.97$ — вероятность "успеха", то есть выигрыша гроссмейстера в одной отдельно взятой партии.

$q = 1 - p = 1 - 0.97 = 0.03$ — вероятность "неудачи", то есть того, что гроссмейстер не выиграет партию (сыграет вничью или проиграет).

Нам необходимо найти вероятность события A = "гроссмейстер выиграет не менее 38 партий". Это означает, что число выигранных партий $k$ может быть равно 38, 39 или 40. Поскольку эти три исхода являются несовместными событиями (не могут произойти одновременно), искомая вероятность равна сумме их вероятностей:

$P(A) = P(k=38) + P(k=39) + P(k=40)$

Вероятность того, что в $n$ испытаниях событие наступит ровно $k$ раз, вычисляется по формуле Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний из $n$ по $k$.

Рассчитаем вероятность для каждого случая по отдельности.

1. Вероятность того, что гроссмейстер выиграет ровно 38 партий ($k=38$):

Число сочетаний:

$C_{40}^{38} = \frac{40!}{38!(40-38)!} = \frac{40 \cdot 39}{2 \cdot 1} = 780$

Вероятность:

$P(k=38) = C_{40}^{38} \cdot (0.97)^{38} \cdot (0.03)^{2} = 780 \cdot (0.97)^{38} \cdot 0.0009$

$P(k=38) \approx 780 \cdot 0.315353 \cdot 0.0009 \approx 0.22121$

2. Вероятность того, что гроссмейстер выиграет ровно 39 партий ($k=39$):

Число сочетаний:

$C_{40}^{39} = \frac{40!}{39!(40-39)!} = 40$

Вероятность:

$P(k=39) = C_{40}^{39} \cdot (0.97)^{39} \cdot (0.03)^{1} = 40 \cdot (0.97)^{39} \cdot 0.03$

$P(k=39) \approx 40 \cdot 0.305892 \cdot 0.03 \approx 0.36707$

3. Вероятность того, что гроссмейстер выиграет все 40 партий ($k=40$):

Число сочетаний:

$C_{40}^{40} = 1$

Вероятность:

$P(k=40) = C_{40}^{40} \cdot (0.97)^{40} \cdot (0.03)^{0} = 1 \cdot (0.97)^{40} \cdot 1$

$P(k=40) \approx 0.29672$

Теперь сложим полученные вероятности, чтобы найти итоговую вероятность события A:

$P(A) \approx 0.22121 + 0.36707 + 0.29672 \approx 0.885$

Ответ: $0.885$