Номер 19.9, страница 167 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 4. Элементы теории вероятностей. Параграф 19. Схема Бернулли. Упражнения - номер 19.9, страница 167.

Учебник.

19.9. Тест состоит из 8 вопросов. Вероятность того, что ученик правильно ответит на отдельно взятый вопрос, равна 80%. Найдите вероятность того, что ученик правильно ответит ровно на 5 вопросов.

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи используется формула Бернулли, которая позволяет найти вероятность того, что в серии из $n$ независимых испытаний событие с постоянной вероятностью успеха $p$ наступит ровно $k$ раз.

Формула Бернулли: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

Здесь:
$n$ — общее число испытаний (в нашем случае — 8 вопросов).
$k$ — число «успехов» (ровно 5 правильных ответов).
$p$ — вероятность «успеха» в одном испытании (вероятность правильно ответить на один вопрос, $p = 80\% = 0.8$).
$q$ — вероятность «неудачи» в одном испытании (вероятность ответить неправильно, $q = 1 - p = 1 - 0.8 = 0.2$).
$C_n^k$ — число сочетаний из $n$ по $k$, которое показывает, сколькими способами можно выбрать $k$ «успешных» испытаний из $n$. Рассчитывается по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Применим эти данные к нашей задаче.

1. Найдем число сочетаний $C_8^5$ — количество способов, которыми ученик может правильно ответить ровно на 5 вопросов из 8:
$C_8^5 = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5!3!} = \frac{5! \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{5! \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{6 \cdot 7 \cdot 8}{6} = 56$.

2. Теперь найдем вероятность одного из таких исходов. Например, что первые 5 ответов правильные, а последние 3 — неправильные. Вероятность этого равна $p^5 \cdot q^3$:
$(0.8)^5 \cdot (0.2)^{8-5} = (0.8)^5 \cdot (0.2)^3$.

3. Чтобы найти итоговую вероятность, нужно умножить количество сочетаний на вероятность одного такого исхода:
$P_8(5) = C_8^5 \cdot p^5 \cdot q^3 = 56 \cdot (0.8)^5 \cdot (0.2)^3$.

Проведем вычисления:
$(0.8)^5 = 0.32768$
$(0.2)^3 = 0.008$
$P_8(5) = 56 \cdot 0.32768 \cdot 0.008 = 18.35008 \cdot 0.008 = 0.14680064$.

Ответ: $0.14680064$