Номер 19.3, страница 167 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 19. Схема Бернулли. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 19.3, страница 167.

19.3. Найдите числовые значения вероятностей того, что в схеме Бернулли с параметрами $n = 5$ и $p = 40\%$ число успешных исходов равно $m$ при $m = 0, m = 1, ..., m = 5$. Сравните полученные значения и сделайте вывод о том, какое количество успешных исходов наиболее вероятно.

Для решения задачи воспользуемся формулой Бернулли, которая определяет вероятность получения ровно $m$ успехов в $n$ независимых испытаниях:

$P_n(m) = C_n^m p^m q^{n-m}$

где $n$ — число испытаний, $m$ — число успешных исходов, $p$ — вероятность успеха в одном испытании, $q = 1 - p$ — вероятность неудачи, а $C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$ — число сочетаний из $n$ по $m$.

По условию задачи имеем: $n = 5$, $p = 40\% = 0.4$, следовательно, вероятность неудачи $q = 1 - p = 1 - 0.4 = 0.6$.

Рассчитаем вероятности для каждого значения $m$ от 0 до 5.

m = 0

Вероятность того, что не будет ни одного успешного исхода:

$P_5(0) = C_5^0 \cdot (0.4)^0 \cdot (0.6)^{5-0} = \frac{5!}{0!(5-0)!} \cdot 1 \cdot (0.6)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0.07776 = 0.07776$.

Ответ: $0.07776$

m = 1

Вероятность того, что будет ровно один успешный исход:

$P_5(1) = C_5^1 \cdot (0.4)^1 \cdot (0.6)^{5-1} = \frac{5!}{1!(5-1)!} \cdot 0.4 \cdot (0.6)^4 = 5 \cdot 0.4 \cdot 0.1296 = 2 \cdot 0.1296 = 0.2592$.

Ответ: $0.2592$

m = 2

Вероятность того, что будет ровно два успешных исхода:

$P_5(2) = C_5^2 \cdot (0.4)^2 \cdot (0.6)^{5-2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} \cdot (0.4)^2 \cdot (0.6)^3 = 10 \cdot 0.16 \cdot 0.216 = 1.6 \cdot 0.216 = 0.3456$.

Ответ: $0.3456$

m = 3

Вероятность того, что будет ровно три успешных исхода:

$P_5(3) = C_5^3 \cdot (0.4)^3 \cdot (0.6)^{5-3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} \cdot (0.4)^3 \cdot (0.6)^2 = 10 \cdot 0.064 \cdot 0.36 = 0.64 \cdot 0.36 = 0.2304$.

Ответ: $0.2304$

m = 4

Вероятность того, что будет ровно четыре успешных исхода:

$P_5(4) = C_5^4 \cdot (0.4)^4 \cdot (0.6)^{5-4} = \frac{5!}{4!(5-4)!} \cdot (0.4)^4 \cdot 0.6 = 5 \cdot 0.0256 \cdot 0.6 = 0.0768$.

Ответ: $0.0768$

m = 5

Вероятность того, что все пять исходов будут успешными:

$P_5(5) = C_5^5 \cdot (0.4)^5 \cdot (0.6)^{5-5} = \frac{5!}{5!(5-5)!} \cdot (0.4)^5 \cdot (0.6)^0 = 1 \cdot 0.01024 \cdot 1 = 0.01024$.

Ответ: $0.01024$

Сравнение полученных значений и вывод

Сравним вычисленные вероятности: $P_5(0) = 0.07776$, $P_5(1) = 0.2592$, $P_5(2) = 0.3456$, $P_5(3) = 0.2304$, $P_5(4) = 0.0768$, $P_5(5) = 0.01024$.

Расположив вероятности в порядке убывания, получаем: $P_5(2) > P_5(1) > P_5(3) > P_5(0) > P_5(4) > P_5(5)$.

Наибольшее значение имеет вероятность $P_5(2) = 0.3456$, что соответствует двум успешным исходам.

Ответ: Наиболее вероятное количество успешных исходов равно 2.