Страница 167 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

1. Что называют схемой Бернулли?

1. Что называют схемой Бернулли?

Схемой Бернулли (или испытаниями Бернулли) в теории вероятностей называют модель для описания последовательности независимых случайных экспериментов, каждый из которых имеет только два исхода. Эта схема применима, когда выполняются следующие условия:

• Проводится определенное количество испытаний, которое мы обозначим как $n$.
• Все $n$ испытаний являются независимыми. Это означает, что результат любого из испытаний никак не влияет на результаты всех остальных.
• Каждое отдельное испытание может иметь только два взаимоисключающих исхода. По традиции их называют «успех» и «неудача».
• Вероятность наступления «успеха» в каждом испытании одинакова и обозначается буквой $p$.
• Следовательно, вероятность «неудачи» в каждом испытании также постоянна и равна $q = 1 - p$.

Основная цель применения схемы Бернулли — вычисление вероятности того, что в серии из $n$ испытаний событие «успех» произойдет ровно $k$ раз. Для этого используется формула Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где:

• $P_n(k)$ — вероятность того, что в $n$ испытаниях произойдет ровно $k$ успехов.
• $C_n^k$ — число сочетаний из $n$ по $k$. Оно показывает, сколькими способами можно выбрать $k$ успешных испытаний из $n$ общих. Рассчитывается как $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
• $p^k$ — вероятность совместного наступления $k$ успехов (поскольку испытания независимы, их вероятности перемножаются).
• $q^{n-k}$ — вероятность совместного наступления $(n-k)$ неудач.

Пример: Стрелок делает 4 выстрела по мишени ($n=4$). Вероятность попадания («успех») при каждом выстреле равна 0.8 ($p=0.8$). Найдем вероятность того, что стрелок попадет в мишень ровно 3 раза ($k=3$).

Вероятность промаха («неудача»): $q = 1 - p = 1 - 0.8 = 0.2$.

Подставляем значения в формулу Бернулли:

$P_4(3) = C_4^3 \cdot (0.8)^3 \cdot (0.2)^{4-3}$

$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = 4$

$P_4(3) = 4 \cdot (0.8)^3 \cdot (0.2)^1 = 4 \cdot 0.512 \cdot 0.2 = 0.4096$

Таким образом, вероятность трех попаданий в серии из четырех выстрелов составляет 40.96%.

Ответ: Схемой Бернулли называют последовательность из $n$ независимых испытаний, в каждом из которых есть только два исхода («успех» и «неудача») с постоянными вероятностями $p$ и $q=1-p$ соответственно.

2. По какой формуле можно найти вероятность количества успешных исходов в схеме Бернулли?

Вероятность получения определенного количества успешных исходов в серии независимых испытаний, известных как схема Бернулли, находится по одноименной формуле.

Схема Бернулли представляет собой последовательность из n независимых испытаний. В каждом из этих испытаний возможны только два исхода, которые условно называют «успех» и «неудача». Вероятность «успеха» в каждом отдельном испытании постоянна и равна p, следовательно, вероятность «неудачи» равна q = 1 - p.

Формула Бернулли позволяет вычислить вероятность того, что в n испытаниях произойдет ровно k «успехов». Она имеет следующий вид:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

Рассмотрим каждый компонент этой формулы:
• $P_n(k)$ – это искомая вероятность того, что в n испытаниях наступит ровно k успехов.
• $n$ – общее количество проведенных независимых испытаний.
• $k$ – требуемое количество «успешных» исходов ($0 \le k \le n$).
• $p$ – вероятность «успеха» в одном отдельно взятом испытании.
• $q$ – вероятность «неудачи» в одном испытании, вычисляемая как $q = 1 - p$.
• $C_n^k$ – это число сочетаний из n по k (также может обозначаться как $\binom{n}{k}$). Этот коэффициент показывает, сколькими различными способами можно выбрать k позиций для «успехов» из общего числа n позиций. Формула для числа сочетаний:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
Здесь $n!$ (читается как «эн факториал») – это произведение всех целых чисел от 1 до n.

Таким образом, если подставить формулу для сочетаний, полная формула Бернулли будет выглядеть так:

$P_n(k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

Логика этой формулы заключается в следующем: вероятность одной конкретной последовательности, содержащей k успехов и $(n-k)$ неудач, равна $p^k \cdot q^{n-k}$ (поскольку испытания независимы, их вероятности перемножаются). Число таких различных последовательностей равно $C_n^k$. Так как все эти последовательности равновероятны и взаимоисключающи, мы умножаем вероятность одной из них на их общее количество.

Ответ: Вероятность количества успешных исходов в схеме Бернулли можно найти по формуле Бернулли: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $n$ — общее число испытаний, $k$ — число успешных исходов, $p$ — вероятность успеха в одном испытании, $q = 1-p$ — вероятность неудачи, а $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний.

19.1. Найдите вероятность того, что в схеме Бернулли с параметрами $n$ и $p$ число успешных исходов равно $m$, если:

1) $n = 10, p = \frac{1}{4}, m = 2$;

2) $n = 8, p = 0,8, m = 8$;

3) $n = 5, p = 40\%, m = 3$.

Для решения этой задачи используется формула Бернулли. Она позволяет вычислить вероятность того, что в серии из $n$ независимых испытаний, в каждом из которых вероятность «успеха» постоянна и равна $p$, произойдет ровно $m$ «успешных» исходов. Формула имеет следующий вид:

$P_n(m) = C_n^m \cdot p^m \cdot q^{n-m}$

Здесь $n$ — общее количество испытаний, $m$ — число ожидаемых успехов, $p$ — вероятность успеха в одном испытании, $q = 1 - p$ — вероятность неудачи, а $C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$ — биномиальный коэффициент, который показывает, сколькими способами можно выбрать $m$ успешных исходов из $n$ испытаний.

1)

В данном случае параметры испытаний следующие: общее число испытаний $n=10$, вероятность успеха в каждом испытании $p = \frac{1}{4}$, и мы ищем вероятность ровно $m=2$ успешных исходов.

Сначала определим вероятность неудачи $q$: $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Далее вычислим биномиальный коэффициент $C_{10}^2$, то есть число способов, которыми можно выбрать 2 успешных исхода из 10: $C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$.

Теперь мы можем подставить все найденные значения в формулу Бернулли: $P_{10}(2) = C_{10}^2 \cdot p^2 \cdot q^{10-2} = 45 \cdot (\frac{1}{4})^2 \cdot (\frac{3}{4})^8$.

Произведем вычисления: $P_{10}(2) = 45 \cdot \frac{1^2}{4^2} \cdot \frac{3^8}{4^8} = 45 \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{6561}{65536} = \frac{45 \cdot 6561}{16 \cdot 65536} = \frac{295245}{1048576}$.

При переводе в десятичную дробь, получаем приблизительное значение: $P_{10}(2) \approx 0.28156...$

Ответ: $P_{10}(2) = \frac{295245}{1048576} \approx 0.2816$.

2)

Здесь параметры следующие: $n=8$ испытаний, вероятность успеха $p=0.8$, и необходимо найти вероятность того, что все $m=8$ испытаний окажутся успешными.

Найдем вероятность неудачи $q$: $q = 1 - p = 1 - 0.8 = 0.2$.

Вычислим биномиальный коэффициент $C_8^8$. Существует только один способ, которым все 8 испытаний могут быть успешными, поэтому: $C_8^8 = \frac{8!}{8!(8-8)!} = \frac{8!}{8!0!} = 1$.

Подставим значения в формулу Бернулли. Так как $m=n$, формула упрощается: $P_8(8) = C_8^8 \cdot p^8 \cdot q^{8-8} = 1 \cdot (0.8)^8 \cdot (0.2)^0$.

Поскольку любое число в нулевой степени равно 1, получаем: $P_8(8) = (0.8)^8$.

Вычислим значение: $P_8(8) = 0.16777216$.

Ответ: $P_8(8) = 0.16777216 \approx 0.1678$.

3)

Для этого случая даны следующие параметры: $n=5$ испытаний, вероятность успеха $p = 40\%$, и требуется найти вероятность $m=3$ успешных исходов.

В первую очередь, переведем вероятность успеха из процентов в десятичную дробь: $p = 40\% = \frac{40}{100} = 0.4$.

Далее найдем вероятность неудачи $q$: $q = 1 - p = 1 - 0.4 = 0.6$.

Вычислим биномиальный коэффициент $C_5^3$: $C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.

Подставим полученные значения в формулу Бернулли: $P_5(3) = C_5^3 \cdot p^3 \cdot q^{5-3} = 10 \cdot (0.4)^3 \cdot (0.6)^2$.

Произведем вычисления: $P_5(3) = 10 \cdot 0.064 \cdot 0.36 = 0.64 \cdot 0.36 = 0.2304$.

Ответ: $P_5(3) = 0.2304$.

19.2. Найдите вероятность того, что в схеме Бернулли с параметрами $n$ и $p$ число успешных исходов равно $m$, если:

1) $n = 8, p = \frac{1}{2}, m = 3$;

2) $n = 5, p = 0,2, m = 0$;

3) $n = 4, p = 70\%, m = 2$.

Для решения данной задачи используется формула Бернулли, которая определяет вероятность того, что в серии из $n$ независимых испытаний, в каждом из которых вероятность «успеха» равна $p$, произойдет ровно $m$ «успешных» исходов.

Формула Бернулли имеет вид:

$P_n(m) = C_n^m \cdot p^m \cdot q^{n-m}$

где:

• $n$ — общее число испытаний;
• $m$ — число «успешных» исходов;
• $p$ — вероятность «успеха» в одном испытании;
• $q = 1 - p$ — вероятность «неудачи» в одном испытании;
• $C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$ — биномиальный коэффициент (число сочетаний из $n$ по $m$).

1) Даны параметры: $n=8$, $p = \frac{1}{2}$, $m=3$.

Сначала найдем вероятность «неудачи» $q$:

$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Теперь вычислим число сочетаний $C_8^3$:

$C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$

Подставим все значения в формулу Бернулли:

$P_8(3) = C_8^3 \cdot p^3 \cdot q^{8-3} = 56 \cdot (\frac{1}{2})^3 \cdot (\frac{1}{2})^5 = 56 \cdot (\frac{1}{2})^8$

$P_8(3) = 56 \cdot \frac{1}{256} = \frac{56}{256}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{56}{256} = \frac{7 \cdot 8}{32 \cdot 8} = \frac{7}{32}$

Ответ: $\frac{7}{32}$.

2) Даны параметры: $n=5$, $p=0,2$, $m=0$.

Найдем вероятность «неудачи» $q$:

$q = 1 - p = 1 - 0,2 = 0,8$

Вычислим число сочетаний $C_5^0$ (по определению $0! = 1$):

$C_5^0 = \frac{5!}{0!(5-0)!} = \frac{5!}{1 \cdot 5!} = 1$

Подставим значения в формулу Бернулли:

$P_5(0) = C_5^0 \cdot p^0 \cdot q^{5-0} = 1 \cdot (0,2)^0 \cdot (0,8)^5$

Так как любое число в степени 0 равно 1, получаем:

$P_5(0) = 1 \cdot 1 \cdot (0,8)^5 = (0,8)^5$

Вычислим значение:

$(0,8)^5 = 0,32768$

Ответ: $0,32768$.

3) Даны параметры: $n=4$, $p=70\%$, $m=2$.

Сначала переведем вероятность из процентов в десятичную дробь:

$p = 70\% = \frac{70}{100} = 0,7$

Найдем вероятность «неудачи» $q$:

$q = 1 - p = 1 - 0,7 = 0,3$

Вычислим число сочетаний $C_4^2$:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$

Подставим значения в формулу Бернулли:

$P_4(2) = C_4^2 \cdot p^2 \cdot q^{4-2} = 6 \cdot (0,7)^2 \cdot (0,3)^2$

Вычислим произведение:

$P_4(2) = 6 \cdot 0,49 \cdot 0,09 = 2,94 \cdot 0,09 = 0,2646$

Ответ: $0,2646$.

19.3. Найдите числовые значения вероятностей того, что в схеме Бернулли с параметрами $n = 5$ и $p = 40\%$ число успешных исходов равно $m$ при $m = 0, m = 1, ..., m = 5$. Сравните полученные значения и сделайте вывод о том, какое количество успешных исходов наиболее вероятно.

Для решения задачи воспользуемся формулой Бернулли, которая определяет вероятность получения ровно $m$ успехов в $n$ независимых испытаниях:

$P_n(m) = C_n^m p^m q^{n-m}$

где $n$ — число испытаний, $m$ — число успешных исходов, $p$ — вероятность успеха в одном испытании, $q = 1 - p$ — вероятность неудачи, а $C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$ — число сочетаний из $n$ по $m$.

По условию задачи имеем: $n = 5$, $p = 40\% = 0.4$, следовательно, вероятность неудачи $q = 1 - p = 1 - 0.4 = 0.6$.

Рассчитаем вероятности для каждого значения $m$ от 0 до 5.

m = 0

Вероятность того, что не будет ни одного успешного исхода:

$P_5(0) = C_5^0 \cdot (0.4)^0 \cdot (0.6)^{5-0} = \frac{5!}{0!(5-0)!} \cdot 1 \cdot (0.6)^5 = 1 \cdot 1 \cdot 0.07776 = 0.07776$.

Ответ: $0.07776$

m = 1

Вероятность того, что будет ровно один успешный исход:

$P_5(1) = C_5^1 \cdot (0.4)^1 \cdot (0.6)^{5-1} = \frac{5!}{1!(5-1)!} \cdot 0.4 \cdot (0.6)^4 = 5 \cdot 0.4 \cdot 0.1296 = 2 \cdot 0.1296 = 0.2592$.

Ответ: $0.2592$

m = 2

Вероятность того, что будет ровно два успешных исхода:

$P_5(2) = C_5^2 \cdot (0.4)^2 \cdot (0.6)^{5-2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} \cdot (0.4)^2 \cdot (0.6)^3 = 10 \cdot 0.16 \cdot 0.216 = 1.6 \cdot 0.216 = 0.3456$.

Ответ: $0.3456$

m = 3

Вероятность того, что будет ровно три успешных исхода:

$P_5(3) = C_5^3 \cdot (0.4)^3 \cdot (0.6)^{5-3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} \cdot (0.4)^3 \cdot (0.6)^2 = 10 \cdot 0.064 \cdot 0.36 = 0.64 \cdot 0.36 = 0.2304$.

Ответ: $0.2304$

m = 4

Вероятность того, что будет ровно четыре успешных исхода:

$P_5(4) = C_5^4 \cdot (0.4)^4 \cdot (0.6)^{5-4} = \frac{5!}{4!(5-4)!} \cdot (0.4)^4 \cdot 0.6 = 5 \cdot 0.0256 \cdot 0.6 = 0.0768$.

Ответ: $0.0768$

m = 5

Вероятность того, что все пять исходов будут успешными:

$P_5(5) = C_5^5 \cdot (0.4)^5 \cdot (0.6)^{5-5} = \frac{5!}{5!(5-5)!} \cdot (0.4)^5 \cdot (0.6)^0 = 1 \cdot 0.01024 \cdot 1 = 0.01024$.

Ответ: $0.01024$

Сравнение полученных значений и вывод

Сравним вычисленные вероятности: $P_5(0) = 0.07776$, $P_5(1) = 0.2592$, $P_5(2) = 0.3456$, $P_5(3) = 0.2304$, $P_5(4) = 0.0768$, $P_5(5) = 0.01024$.

Расположив вероятности в порядке убывания, получаем: $P_5(2) > P_5(1) > P_5(3) > P_5(0) > P_5(4) > P_5(5)$.

Наибольшее значение имеет вероятность $P_5(2) = 0.3456$, что соответствует двум успешным исходам.

Ответ: Наиболее вероятное количество успешных исходов равно 2.

19.4. Какое количество успешных исходов наименее вероятно в схеме Бер-нулли с параметрами $n = 4$ и $p = 75\%$?

Для решения задачи о нахождении наименее вероятного количества успехов в серии испытаний Бернулли, мы воспользуемся формулой Бернулли. Эта формула позволяет вычислить вероятность получения ровно $k$ успехов в $n$ независимых испытаниях:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

В этой формуле:
$n$ — общее число испытаний. По условию, $n = 4$.
$p$ — вероятность "успеха" в одном испытании. По условию, $p = 75\% = 0.75$.
$q$ — вероятность "неудачи", которая равна $1 - p = 1 - 0.75 = 0.25$.
$k$ — количество "успешных" исходов, которое может принимать значения от 0 до 4.
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — это биномиальный коэффициент (число сочетаний).

Наша задача — вычислить вероятность $P_4(k)$ для каждого возможного значения $k$ (0, 1, 2, 3, 4) и найти, при каком $k$ эта вероятность будет минимальной.

Вероятность для k = 0
Это вероятность того, что не произойдет ни одного успешного исхода.
$P_4(0) = C_4^0 \cdot (0.75)^0 \cdot (0.25)^{4-0} = 1 \cdot 1 \cdot (0.25)^4 = (\frac{1}{4})^4 = \frac{1}{256}$

Вероятность для k = 1
Это вероятность того, что произойдет ровно один успешный исход.
$P_4(1) = C_4^1 \cdot (0.75)^1 \cdot (0.25)^{4-1} = 4 \cdot 0.75 \cdot (0.25)^3 = 3 \cdot (\frac{1}{4})^3 = \frac{3}{64} = \frac{12}{256}$

Вероятность для k = 2
Это вероятность того, что произойдет ровно два успешных исхода.
$P_4(2) = C_4^2 \cdot (0.75)^2 \cdot (0.25)^{4-2} = \frac{4!}{2!2!} \cdot (\frac{3}{4})^2 \cdot (\frac{1}{4})^2 = 6 \cdot \frac{9}{16} \cdot \frac{1}{16} = \frac{54}{256}$

Вероятность для k = 3
Это вероятность того, что произойдет ровно три успешных исхода.
$P_4(3) = C_4^3 \cdot (0.75)^3 \cdot (0.25)^{4-3} = 4 \cdot (\frac{3}{4})^3 \cdot (\frac{1}{4})^1 = 4 \cdot \frac{27}{64} \cdot \frac{1}{4} = \frac{27}{64} = \frac{108}{256}$

Вероятность для k = 4
Это вероятность того, что произойдут все четыре успешных исхода.
$P_4(4) = C_4^4 \cdot (0.75)^4 \cdot (0.25)^{4-4} = 1 \cdot (\frac{3}{4})^4 \cdot 1 = \frac{81}{256}$

Теперь сравним полученные значения вероятностей:
$P_4(0) = \frac{1}{256} \approx 0.0039$
$P_4(1) = \frac{12}{256} \approx 0.0469$
$P_4(2) = \frac{54}{256} \approx 0.2109$
$P_4(3) = \frac{108}{256} \approx 0.4219$
$P_4(4) = \frac{81}{256} \approx 0.3164$
Мы видим, что наименьшее значение вероятности $P_4(0) = \frac{1}{256}$. Это значение соответствует случаю, когда количество успешных исходов равно 0.

Ответ: 0

19.5. Какова вероятность того, что из 5 бросков игрального кубика шестёрка выпадет ровно 2 раза?

Для решения этой задачи используется формула Бернулли, которая позволяет рассчитать вероятность получения ровно $k$ успехов в $n$ независимых испытаниях. Формула имеет вид: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$.

В этой формуле: $n$ — общее количество испытаний (бросков кубика), $k$ — количество «успешных» исходов (выпадений шестёрки), $p$ — вероятность «успеха» в одном испытании (вероятность выпадения шестёрки при одном броске), $q$ — вероятность «неудачи» в одном испытании (вероятность невыпадения шестёрки), равная $1 - p$, а $C_n^k$ — число сочетаний из $n$ по $k$, которое рассчитывается по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В условиях данной задачи имеем следующие параметры: $n = 5$ (всего 5 бросков); $k = 2$ (шестёрка должна выпасть ровно 2 раза); $p = \frac{1}{6}$ (вероятность выпадения шестёрки на стандартном кубике); $q = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ (вероятность того, что выпадет любая другая грань).

Сначала рассчитаем число сочетаний $C_5^2$ — количество способов, которыми могут выпасть две шестёрки в серии из пяти бросков: $C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.

Теперь подставим все значения в формулу Бернулли, чтобы найти искомую вероятность: $P_5(2) = C_5^2 \cdot p^2 \cdot q^{5-2} = 10 \cdot (\frac{1}{6})^2 \cdot (\frac{5}{6})^3$.

Выполним вычисления: $P_5(2) = 10 \cdot \frac{1}{36} \cdot \frac{125}{216} = \frac{10 \cdot 1 \cdot 125}{36 \cdot 216} = \frac{1250}{7776}$.

Сократим полученную дробь. Разделим числитель и знаменатель на 2: $\frac{1250}{7776} = \frac{625}{3888}$. Дальнейшее сокращение невозможно, так как числитель $625 = 5^4$, а знаменатель 3888 на 5 не делится.

Ответ: $\frac{625}{3888}$.

19.6. Монету подбрасывают 10 раз. Какова вероятность, что ровно 3 раза выпадет герб?

19.6.

Данная задача относится к схеме независимых испытаний Бернулли. Нам нужно найти вероятность того, что в серии из $n=10$ испытаний (подбрасываний монеты) некоторое событие (выпадение герба) произойдет ровно $k=3$ раза.

Вероятность этого можно вычислить по формуле Бернулли:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$
где:
$n$ — общее число испытаний;
$k$ — количество "успехов" (в данном случае, выпадений герба);
$p$ — вероятность "успеха" в одном испытании;
$q$ — вероятность "неудачи" в одном испытании, $q = 1 - p$;
$C_n^k$ — число сочетаний из $n$ по $k$, которое вычисляется как $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Определим значения переменных для нашей задачи:
$n = 10$ (всего подбрасываний);
$k = 3$ (требуемое количество гербов);
$p = \frac{1}{2}$ (вероятность выпадения герба при одном броске);
$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ (вероятность выпадения решки).

1. Найдем число сочетаний $C_{10}^3$ — это количество способов, которыми могут выпасть 3 герба в 10 бросках:
$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$.

2. Теперь подставим все значения в формулу Бернулли:
$P_{10}(3) = C_{10}^3 \cdot p^3 \cdot q^{10-3} = 120 \cdot (\frac{1}{2})^3 \cdot (\frac{1}{2})^7$

3. Упростим выражение, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$P_{10}(3) = 120 \cdot (\frac{1}{2})^{3+7} = 120 \cdot (\frac{1}{2})^{10}$

4. Вычислим знаменатель:
$2^{10} = 1024$.

5. Получим окончательное значение вероятности:
$P_{10}(3) = 120 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{120}{1024}$

6. Сократим полученную дробь. Разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 8:
$\frac{120 \div 8}{1024 \div 8} = \frac{15}{128}$

Ответ: $\frac{15}{128}$

19.7. Стрелок попадает в мишень с вероятностью $p$. Найдите вероятность того, что из 9 выстрелов стрелок попадёт в мишень ровно 6 раз.

19.7. Для решения этой задачи используется формула Бернулли, которая определяет вероятность наступления события ровно $k$ раз в серии из $n$ независимых испытаний.

Формула Бернулли имеет вид:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
где:
$n$ — общее число испытаний (в данном случае — выстрелов),
$k$ — число интересующих нас "успешных" исходов (попаданий),
$p$ — вероятность "успеха" в одном испытании (вероятность попадания),
$(1-p)$ — вероятность "неудачи" в одном испытании (вероятность промаха),
$C_n^k$ — число сочетаний, показывающее, сколькими способами можно выбрать $k$ успешных исходов из $n$ испытаний.

Согласно условию задачи:
- общее число выстрелов $n = 9$,
- требуемое число попаданий $k = 6$,
- вероятность попадания при одном выстреле равна $p$.

Подставим эти значения в формулу Бернулли:
$P_9(6) = C_9^6 \cdot p^6 \cdot (1-p)^{9-6} = C_9^6 \cdot p^6 \cdot (1-p)^3$

Теперь необходимо вычислить число сочетаний $C_9^6$:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
$C_9^6 = \frac{9!}{6!(9-6)!} = \frac{9!}{6! \cdot 3!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{504}{6} = 84$

Теперь, подставив значение $C_9^6 = 84$ в наше выражение, получаем искомую вероятность:
$P_9(6) = 84 \cdot p^6 \cdot (1-p)^3$

Ответ: $84p^6(1-p)^3$

19.8. Вероятность того, что станок изготовит бракованную деталь, равна $p$. Какова вероятность того, что из 15 деталей ровно 2 будут бракованными?

Данная задача является классическим примером нахождения вероятности в серии независимых испытаний, также известной как схема Бернулли. Мы рассматриваем процесс изготовления 15 деталей как серию из 15 независимых испытаний. Каждое испытание (изготовление одной детали) может иметь два исхода: деталь бракованная («успех») или деталь качественная («неудача»).

Вероятность того, что в $n$ испытаниях событие наступит ровно $k$ раз, вычисляется по формуле Бернулли: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$ где:

• $n$ — общее число испытаний;
• $k$ — число «успешных» исходов;
• $p$ — вероятность «успеха» в одном испытании;
• $q = 1-p$ — вероятность «неудачи» в одном испытании;
• $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний (количество способов выбрать $k$ элементов из $n$).

В условиях нашей задачи:

• Общее число деталей (испытаний) $n = 15$.
• Требуемое число бракованных деталей («успехов») $k = 2$.
• Вероятность изготовления бракованной детали («успеха») равна $p$.
• Вероятность изготовления качественной детали («неудачи») равна $q = 1-p$.

Сначала вычислим число сочетаний $C_{15}^2$, то есть количество способов, которыми могут быть выбраны 2 бракованные детали из 15 изготовленных: $C_{15}^2 = \frac{15!}{2!(15-2)!} = \frac{15!}{2! \cdot 13!} = \frac{13! \cdot 14 \cdot 15}{2 \cdot 1 \cdot 13!} = \frac{14 \cdot 15}{2} = 7 \cdot 15 = 105$.

Теперь подставим все значения в формулу Бернулли. Вероятность того, что 2 детали будут бракованными, а остальные $15-2=13$ деталей — качественными, равна произведению числа сочетаний на вероятность одной такой комбинации ($p^2 \cdot (1-p)^{13}$): $P_{15}(2) = C_{15}^2 \cdot p^2 \cdot (1-p)^{15-2} = 105 \cdot p^2 \cdot (1-p)^{13}$.

Ответ: $105p^2(1-p)^{13}$

19.9. Тест состоит из 8 вопросов. Вероятность того, что ученик правильно ответит на отдельно взятый вопрос, равна 80%. Найдите вероятность того, что ученик правильно ответит ровно на 5 вопросов.

Для решения этой задачи используется формула Бернулли, которая позволяет найти вероятность того, что в серии из $n$ независимых испытаний событие с постоянной вероятностью успеха $p$ наступит ровно $k$ раз.

Формула Бернулли: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

Здесь:
$n$ — общее число испытаний (в нашем случае — 8 вопросов).
$k$ — число «успехов» (ровно 5 правильных ответов).
$p$ — вероятность «успеха» в одном испытании (вероятность правильно ответить на один вопрос, $p = 80\% = 0.8$).
$q$ — вероятность «неудачи» в одном испытании (вероятность ответить неправильно, $q = 1 - p = 1 - 0.8 = 0.2$).
$C_n^k$ — число сочетаний из $n$ по $k$, которое показывает, сколькими способами можно выбрать $k$ «успешных» испытаний из $n$. Рассчитывается по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Применим эти данные к нашей задаче.

1. Найдем число сочетаний $C_8^5$ — количество способов, которыми ученик может правильно ответить ровно на 5 вопросов из 8:
$C_8^5 = \frac{8!}{5!(8-5)!} = \frac{8!}{5!3!} = \frac{5! \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8}{5! \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{6 \cdot 7 \cdot 8}{6} = 56$.

2. Теперь найдем вероятность одного из таких исходов. Например, что первые 5 ответов правильные, а последние 3 — неправильные. Вероятность этого равна $p^5 \cdot q^3$:
$(0.8)^5 \cdot (0.2)^{8-5} = (0.8)^5 \cdot (0.2)^3$.

3. Чтобы найти итоговую вероятность, нужно умножить количество сочетаний на вероятность одного такого исхода:
$P_8(5) = C_8^5 \cdot p^5 \cdot q^3 = 56 \cdot (0.8)^5 \cdot (0.2)^3$.

Проведем вычисления:
$(0.8)^5 = 0.32768$
$(0.2)^3 = 0.008$
$P_8(5) = 56 \cdot 0.32768 \cdot 0.008 = 18.35008 \cdot 0.008 = 0.14680064$.

Ответ: $0.14680064$