Номер 19.2, страница 167 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 19. Схема Бернулли. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 19.2, страница 167.

19.2. Найдите вероятность того, что в схеме Бернулли с параметрами $n$ и $p$ число успешных исходов равно $m$, если:

1) $n = 8, p = \frac{1}{2}, m = 3$;

2) $n = 5, p = 0,2, m = 0$;

3) $n = 4, p = 70\%, m = 2$.

Для решения данной задачи используется формула Бернулли, которая определяет вероятность того, что в серии из $n$ независимых испытаний, в каждом из которых вероятность «успеха» равна $p$, произойдет ровно $m$ «успешных» исходов.

Формула Бернулли имеет вид:

$P_n(m) = C_n^m \cdot p^m \cdot q^{n-m}$

где:

• $n$ — общее число испытаний;
• $m$ — число «успешных» исходов;
• $p$ — вероятность «успеха» в одном испытании;
• $q = 1 - p$ — вероятность «неудачи» в одном испытании;
• $C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$ — биномиальный коэффициент (число сочетаний из $n$ по $m$).

1) Даны параметры: $n=8$, $p = \frac{1}{2}$, $m=3$.

Сначала найдем вероятность «неудачи» $q$:

$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Теперь вычислим число сочетаний $C_8^3$:

$C_8^3 = \frac{8!}{3!(8-3)!} = \frac{8!}{3!5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 56$

Подставим все значения в формулу Бернулли:

$P_8(3) = C_8^3 \cdot p^3 \cdot q^{8-3} = 56 \cdot (\frac{1}{2})^3 \cdot (\frac{1}{2})^5 = 56 \cdot (\frac{1}{2})^8$

$P_8(3) = 56 \cdot \frac{1}{256} = \frac{56}{256}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{56}{256} = \frac{7 \cdot 8}{32 \cdot 8} = \frac{7}{32}$

Ответ: $\frac{7}{32}$.

2) Даны параметры: $n=5$, $p=0,2$, $m=0$.

Найдем вероятность «неудачи» $q$:

$q = 1 - p = 1 - 0,2 = 0,8$

Вычислим число сочетаний $C_5^0$ (по определению $0! = 1$):

$C_5^0 = \frac{5!}{0!(5-0)!} = \frac{5!}{1 \cdot 5!} = 1$

Подставим значения в формулу Бернулли:

$P_5(0) = C_5^0 \cdot p^0 \cdot q^{5-0} = 1 \cdot (0,2)^0 \cdot (0,8)^5$

Так как любое число в степени 0 равно 1, получаем:

$P_5(0) = 1 \cdot 1 \cdot (0,8)^5 = (0,8)^5$

Вычислим значение:

$(0,8)^5 = 0,32768$

Ответ: $0,32768$.

3) Даны параметры: $n=4$, $p=70\%$, $m=2$.

Сначала переведем вероятность из процентов в десятичную дробь:

$p = 70\% = \frac{70}{100} = 0,7$

Найдем вероятность «неудачи» $q$:

$q = 1 - p = 1 - 0,7 = 0,3$

Вычислим число сочетаний $C_4^2$:

$C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$

Подставим значения в формулу Бернулли:

$P_4(2) = C_4^2 \cdot p^2 \cdot q^{4-2} = 6 \cdot (0,7)^2 \cdot (0,3)^2$

Вычислим произведение:

$P_4(2) = 6 \cdot 0,49 \cdot 0,09 = 2,94 \cdot 0,09 = 0,2646$

Ответ: $0,2646$.