Номер 18.32, страница 163 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Готовимся к изучению новой темы. § 18. Зависимые и независимые события. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 18.32, страница 163.

18.32. Запишите третий член разложения выражения $ (p + q)^5 $ по формуле бинома Ньютона. В полученное выражение подставьте $ 1 - p $ вместо $ q $.

Для нахождения члена разложения бинома $(a+b)^n$ используется формула бинома Ньютона. Общий член разложения (обозначим его $T_{k+1}$) имеет вид:

$T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – биномиальный коэффициент.

В нашем случае дано выражение $(p+q)^5$. Здесь $a=p$, $b=q$, $n=5$.

1. Найдём третий член разложения.

Для третьего члена $k+1=3$, следовательно, $k=2$.

Подставим значения в формулу общего члена:

$T_3 = C_5^2 p^{5-2} q^2 = C_5^2 p^3 q^2$.

Вычислим биномиальный коэффициент $C_5^2$:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.

Таким образом, третий член разложения равен $10p^3q^2$.

2. Подставим $1-p$ вместо $q$.

Теперь в полученное выражение $10p^3q^2$ подставим $q = 1-p$:

$10p^3(1-p)^2$.

Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:

$10p^3(1^2 - 2 \cdot 1 \cdot p + p^2) = 10p^3(1 - 2p + p^2)$.

Теперь умножим $10p^3$ на каждый член в скобках:

$10p^3 \cdot 1 - 10p^3 \cdot 2p + 10p^3 \cdot p^2 = 10p^3 - 20p^4 + 10p^5$.

Для стандартной записи расположим члены многочлена по убыванию степеней переменной $p$:

$10p^5 - 20p^4 + 10p^3$.

Ответ: $10p^5 - 20p^4 + 10p^3$.