Номер 18.26, страница 161 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 18. Зависимые и независимые события. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 18.26, страница 161.

18.26. Пусть $A$ и $B$ – несовместные события некоторого испытания с ненулевыми вероятностями. Могут ли события $A$ и $B$ быть независимыми?

Для ответа на этот вопрос необходимо вспомнить определения несовместных и независимых событий.

1. Определение несовместных событий:
Два события $A$ и $B$ называются несовместными, если они не могут произойти одновременно в одном и том же испытании. Это означает, что их пересечение является пустым множеством: $A \cap B = \emptyset$. Следовательно, вероятность их совместного наступления (то есть вероятность их пересечения) равна нулю: $$P(A \cap B) = 0$$

2. Определение независимых событий:
Два события $A$ и $B$ называются независимыми, если наступление одного из них не влияет на вероятность наступления другого. Математически это выражается равенством: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

3. Анализ условия задачи:
По условию, события $A$ и $B$ являются несовместными, и их вероятности ненулевые: $P(A) > 0$ и $P(B) > 0$.

Теперь предположим, что эти события также являются независимыми. Если бы они были независимыми, для них должно было бы выполняться равенство из определения независимости: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

Но так как события несовместные, мы знаем, что $P(A \cap B) = 0$. Подставив это значение в формулу для независимых событий, мы получаем: $$0 = P(A) \cdot P(B)$$

Произведение двух чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. То есть, из этого равенства следует, что либо $P(A) = 0$, либо $P(B) = 0$.

Однако это напрямую противоречит условию задачи, в котором указано, что вероятности событий $A$ и $B$ ненулевые ($P(A) > 0$ и $P(B) > 0$). Если обе вероятности строго больше нуля, то их произведение также должно быть строго больше нуля: $P(A) \cdot P(B) > 0$.

Таким образом, мы пришли к противоречию. С одной стороны, из-за несовместности событий должно быть $P(A \cap B) = 0$. С другой стороны, если бы они были независимы при ненулевых вероятностях, должно было бы выполняться $P(A \cap B) > 0$. Это невозможно.

Следовательно, наше первоначальное предположение о том, что события $A$ и $B$ могут быть независимыми, неверно.

Ответ: Нет, несовместные события с ненулевыми вероятностями не могут быть независимыми. Они являются зависимыми, так как наступление одного из них (например, события A) делает невозможным наступление другого (вероятность события B при условии, что A наступило, равна нулю: $P(B|A)=0$), что и является признаком зависимости.