Номер 18.30, страница 162 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 4. Элементы теории вероятностей. Параграф 18. Зависимые и независимые события. Упражнения - номер 18.30, страница 162.

Учебник.

18.30. Электрический блок (рис. 18.10) работает безотказно в течение года с вероятностью $p$. Для увеличения надежности электрический блок дублируют ещё одним таким же блоком так, что полученная система работает, когда работает, по крайней мере, один из блоков (рис. 18.11). Какова вероятность безотказной работы системы в течение года, если поломка каждого электрического блока происходит независимо от работы другого блока?

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи воспользуемся теорией вероятностей.

Пусть $A$ — это событие, заключающееся в том, что первый электрический блок работает безотказно в течение года, и $B$ — событие, что второй блок работает безотказно в течение года.

По условию, вероятность безотказной работы одного блока равна $p$:
$P(A) = p$
$P(B) = p$

Система работает, если работает хотя бы один из блоков. Это означает, что нас интересует вероятность события $A \cup B$ (работает блок A, ИЛИ работает блок B, ИЛИ работают оба).

Проще всего найти эту вероятность через противоположное событие. Противоположное событие для «работает хотя бы один блок» — это «не работает ни один блок», то есть оба блока вышли из строя.

Найдем вероятность того, что один блок выйдет из строя. Это событие, противоположное безотказной работе. Обозначим его как $\overline{A}$ для первого блока и $\overline{B}$ для второго.
Вероятность отказа первого блока: $P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - p$.
Вероятность отказа второго блока: $P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - p$.

Поскольку поломки блоков происходят независимо, вероятность того, что оба блока выйдут из строя одновременно, равна произведению их вероятностей:
$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) = (1 - p) \cdot (1 - p) = (1 - p)^2$.

Это вероятность полного отказа системы. Вероятность безотказной работы системы (т.е. что работает хотя бы один блок) будет равна единице минус вероятность полного отказа:
$P_{\text{системы}} = 1 - P(\overline{A} \cap \overline{B}) = 1 - (1 - p)^2$.

Это выражение можно также упростить, раскрыв скобки:
$1 - (1 - 2p + p^2) = 1 - 1 + 2p - p^2 = 2p - p^2$.

Ответ: $1 - (1 - p)^2$ (или $2p - p^2$).