Номер 18.27, страница 161 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 18. Зависимые и независимые события. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 18.27, страница 161.

18.27. Андрей попадает в мишень с вероятностью $0,4$, Сергей — $0,5$, а Пётр — $0,7$. Все трое делают по одному выстрелу. Какова вероятность того, что:

1) попадут все юноши;

2) ни один из юношей не попадёт;

3) только Андрей попадёт;

4) ровно один из юношей попадёт;

5) не попадёт только Пётр;

6) только один из юношей не попадёт;

7) по крайней мере двое юношей попадут?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• Событие A: Андрей попал в мишень. Вероятность $P(A) = 0,4$.
• Событие B: Сергей попал в мишень. Вероятность $P(B) = 0,5$.
• Событие C: Пётр попал в мишень. Вероятность $P(C) = 0,7$.

Так как выстрелы независимы, мы можем перемножать вероятности соответствующих событий.

Также найдём вероятности противоположных событий (промахов):

• Событие $\bar{A}$: Андрей не попал в мишень. Вероятность $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,4 = 0,6$.
• Событие $\bar{B}$: Сергей не попал в мишень. Вероятность $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,5 = 0,5$.
• Событие $\bar{C}$: Пётр не попал в мишень. Вероятность $P(\bar{C}) = 1 - P(C) = 1 - 0,7 = 0,3$.

Теперь решим каждый пункт задачи.

1) попадут все юноши
Это означает, что Андрей попал, и Сергей попал, и Пётр попал. Вероятность этого события равна произведению вероятностей попадания каждого из них.
$P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C) = 0,4 \cdot 0,5 \cdot 0,7 = 0,14$.
Ответ: 0,14.

2) ни один из юношей не попадёт
Это означает, что все трое промахнулись. Вероятность этого события равна произведению вероятностей промаха каждого из них.
$P(\bar{A} \cap \bar{B} \cap \bar{C}) = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) \cdot P(\bar{C}) = 0,6 \cdot 0,5 \cdot 0,3 = 0,09$.
Ответ: 0,09.

3) только Андрей попадёт
Это означает, что Андрей попал, а Сергей и Пётр промахнулись.
$P(A \cap \bar{B} \cap \bar{C}) = P(A) \cdot P(\bar{B}) \cdot P(\bar{C}) = 0,4 \cdot 0,5 \cdot 0,3 = 0,06$.
Ответ: 0,06.

4) ровно один из юношей попадёт
Это событие состоит из трёх несовместных исходов:
1. Попал только Андрей (вероятность найдена в пункте 3): $0,06$.
2. Попал только Сергей (Андрей и Пётр промахнулись): $P(\bar{A} \cap B \cap \bar{C}) = P(\bar{A}) \cdot P(B) \cdot P(\bar{C}) = 0,6 \cdot 0,5 \cdot 0,3 = 0,09$.
3. Попал только Пётр (Андрей и Сергей промахнулись): $P(\bar{A} \cap \bar{B} \cap C) = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) \cdot P(C) = 0,6 \cdot 0,5 \cdot 0,7 = 0,21$.
Суммируем вероятности этих трёх исходов: $0,06 + 0,09 + 0,21 = 0,36$.
Ответ: 0,36.

5) не попадёт только Пётр
Это означает, что Андрей и Сергей попали, а Пётр промахнулся.
$P(A \cap B \cap \bar{C}) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(\bar{C}) = 0,4 \cdot 0,5 \cdot 0,3 = 0,06$.
Ответ: 0,06.

6) только один из юношей не попадёт
Это событие означает, что ровно двое попали. Оно состоит из трёх несовместных исходов:
1. Не попал только Андрей (Сергей и Пётр попали): $P(\bar{A} \cap B \cap C) = P(\bar{A}) \cdot P(B) \cdot P(C) = 0,6 \cdot 0,5 \cdot 0,7 = 0,21$.
2. Не попал только Сергей (Андрей и Пётр попали): $P(A \cap \bar{B} \cap C) = P(A) \cdot P(\bar{B}) \cdot P(C) = 0,4 \cdot 0,5 \cdot 0,7 = 0,14$.
3. Не попал только Пётр (вероятность найдена в пункте 5): $0,06$.
Суммируем вероятности этих трёх исходов: $0,21 + 0,14 + 0,06 = 0,41$.
Ответ: 0,41.

7) по крайней мере двое юношей попадут
Это событие означает, что попадут либо ровно двое, либо все трое. Эти два исхода несовместны, поэтому их вероятности можно сложить.
Вероятность того, что попадут ровно двое, мы нашли в пункте 6: $0,41$.
Вероятность того, что попадут все трое, мы нашли в пункте 1: $0,14$.
Искомая вероятность: $0,41 + 0,14 = 0,55$.
Ответ: 0,55.