Номер 18.24, страница 161 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 18. Зависимые и независимые события. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 18.24, страница 161.

18.24. Из коробки, в которой лежат 2 синих и 3 красных шара, наугад берут сначала один шар, а потом ещё один. Вычислите вероятность того, что взятые шары одного цвета, если среди взятых шаров есть красный.

Обозначим события:

$A$ – событие, при котором взятые шары одного цвета.

$B$ – событие, при котором среди взятых шаров есть красный шар.

Нам необходимо найти условную вероятность $P(A|B)$ – вероятность того, что шары одного цвета, при условии, что среди них есть красный.

Формула условной вероятности: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$, где $P(A \cap B)$ – вероятность одновременного наступления событий $A$ и $B$, а $P(B)$ – вероятность события $B$.

1. Найдем вероятность события $B$.

Событие $B$ (среди взятых шаров есть красный) является противоположным событию, в котором оба взятых шара – синие. Найдем вероятность вытащить два синих шара подряд.

Всего в коробке $2 + 3 = 5$ шаров.

Вероятность вытащить первый синий шар равна $\frac{2}{5}$.

После того как был вытащен один синий шар, в коробке осталось 4 шара, из которых 1 синий. Вероятность вытащить второй синий шар равна $\frac{1}{4}$.

Вероятность того, что оба шара синие, равна произведению этих вероятностей: $P(\text{оба синие}) = \frac{2}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$.

Следовательно, вероятность события $B$ (что хотя бы один шар красный) равна: $P(B) = 1 - P(\text{оба синие}) = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$.

2. Найдем вероятность события $A \cap B$.

Событие $A \cap B$ означает, что "взятые шары одного цвета И среди них есть красный". Это условие выполняется только тогда, когда оба взятых шара – красные.

Вероятность вытащить первый красный шар равна $\frac{3}{5}$.

После этого в коробке останется 4 шара, из которых 2 красных. Вероятность вытащить второй красный шар равна $\frac{2}{4}$.

Вероятность того, что оба шара красные, равна: $P(A \cap B) = P(\text{оба красные}) = \frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}$.

3. Вычислим условную вероятность $P(A|B)$.

Подставим найденные значения в формулу условной вероятности: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{3/10}{9/10} = \frac{3}{10} \times \frac{10}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$