Номер 18.17, страница 160 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 18. Зависимые и независимые события. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 18.17, страница 160.

18.17. В некачественной партии деталей вероятность того, что взятая наугад деталь окажется бракованной, составляет 0,2. Контролёр проверяет детали до тех пор, пока не выявит первую бракованную. Найдите вероятность того, что ему придётся проверить 8 деталей.

По условию задачи, контролёр проверяет детали последовательно до тех пор, пока не обнаружит первую бракованную. Нам нужно найти вероятность того, что для этого ему потребуется проверить ровно 8 деталей.

Событие "контролёру пришлось проверить 8 деталей" означает, что первые 7 проверенных им деталей оказались качественными (не бракованными), а восьмая по счёту деталь — бракованной.

Обозначим вероятность того, что случайно взятая деталь окажется бракованной, как $p$. Согласно условию, $p = 0.2$.

Следовательно, вероятность того, что деталь окажется качественной (не бракованной), будет $q$. Это событие является противоположным, поэтому его вероятность равна:
$q = 1 - p = 1 - 0.2 = 0.8$.

Проверки каждой детали являются независимыми друг от друга событиями. Поэтому, чтобы найти вероятность нужной нам последовательности событий (7 качественных деталей и затем 1 бракованная), мы должны перемножить вероятности каждого из этих событий.

Искомую вероятность $P$ можно рассчитать по формуле геометрического распределения:
$P = \underbrace{q \times q \times \dots \times q}_{7 \text{ раз}} \times p = q^7 \times p$

Подставим числовые значения в формулу:
$P = (0.8)^7 \times 0.2$

Теперь выполним вычисления:
$(0.8)^7 = 0.2097152$
$P = 0.2097152 \times 0.2 = 0.04194304$

Ответ: 0,04194304