Номер 18.16, страница 160 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 18. Зависимые и независимые события. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 18.16, страница 160.

18.16. Стрелок попадает в мишень с вероятностью $p$. Опыт состоит в том, что стрелок стреляет до тех пор, пока не попадёт в мишень. Найдите вероятность того, что ему придётся стрелять 6 раз.

Данная задача описывает последовательность независимых испытаний Бернулли, которая продолжается до первого "успеха". Такая случайная величина имеет геометрическое распределение.

Обозначим события:

• Событие A: стрелок попал в мишень. Вероятность этого события по условию равна $p$, то есть $P(A) = p$.
• Событие B: стрелок промахнулся. Это событие, противоположное событию A, поэтому его вероятность равна $P(B) = 1 - P(A) = 1-p$.

Событие "стрелку придётся стрелять 6 раз" означает, что эксперимент закончился на шестом выстреле. Это могло произойти только в том случае, если первые пять выстрелов были неудачными (промахи), а шестой выстрел оказался удачным (попадание).

Таким образом, мы ищем вероятность следующей последовательности событий:
Промах (1-й выстрел) И Промах (2-й выстрел) И Промах (3-й выстрел) И Промах (4-й выстрел) И Промах (5-й выстрел) И Попадание (6-й выстрел).

Поскольку выстрелы являются независимыми событиями, вероятность их одновременного наступления (то есть вероятность всей последовательности) равна произведению их вероятностей:
$P(\text{искомое событие}) = P(B) \cdot P(B) \cdot P(B) \cdot P(B) \cdot P(B) \cdot P(A)$

Подставим значения вероятностей:
$P(\text{искомое событие}) = (1-p) \cdot (1-p) \cdot (1-p) \cdot (1-p) \cdot (1-p) \cdot p$

Упрощая выражение, получаем:
$P(\text{искомое событие}) = (1-p)^5 \cdot p$

Ответ: $(1-p)^5 p$.