Номер 18.10, страница 159 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 4. Элементы теории вероятностей. Параграф 18. Зависимые и независимые события. Упражнения - номер 18.10, страница 159.

Учебник.

18.10. На собрании присутствуют 19 человек, из которых 12 женщин и 7 мужчин. Для подсчёта результатов голосования предлагается выбрать счётную комиссию из трёх человек. Членов счётной комиссии выбирают последовательно путём жеребьевки. Известно, что первыми двумя членами комиссии оказались мужчины. Найдите вероятность того, что третьим из выбранных членов счётной комиссии окажется женщина. Составьте дендрограмму этого опыта.

Решение.

Решение 2.

Найдите вероятность того, что третьим из выбранных членов счетной комиссии окажется женщина.

Изначально на собрании присутствует 19 человек: 12 женщин (Ж) и 7 мужчин (М).

По условию задачи, члены счётной комиссии выбираются последовательно. Это означает, что после каждого выбора общее количество людей и количество людей в каждой группе (мужчин и женщин) уменьшается.

Известно, что первым был выбран мужчина. После этого выбора осталось 18 человек: 12 женщин и 6 мужчин.

Вторым также был выбран мужчина. После второго выбора осталось 17 человек: 12 женщин и 5 мужчин.

Теперь нам нужно найти вероятность того, что третий выбранный член комиссии будет женщиной. Выбор производится из оставшихся 17 человек.

Количество благоприятных исходов (выбор женщины) равно 12, так как в группе осталось 12 женщин.

Общее количество возможных исходов равно 17, так как всего осталось 17 человек.

Вероятность этого события $P$ вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P = \frac{\text{количество оставшихся женщин}}{\text{общее количество оставшихся людей}} = \frac{12}{17}$

Это условная вероятность: $P(\text{третья - Ж} | \text{первый - М и второй - М}) = \frac{12}{17}$.

Ответ: Вероятность того, что третьим членом комиссии окажется женщина, равна $\frac{12}{17}$.

Составьте дендрограмму этого опыта.

Дендрограмма (или дерево вероятностей) показывает все возможные последовательности выбора трёх членов комиссии. Обозначим выбор мужчины как "М", а выбор женщины как "Ж". В скобках указаны вероятности на каждом шаге и оставшийся состав группы.

• 1-й выбор (из 12 Ж, 7 М; всего 19)
  • Выбран мужчина (М) с вероятностью $P = \frac{7}{19}$
    (Осталось: 12 Ж, 6 М; всего 18)
    • 2-й выбор
      • Выбран мужчина (М) с вероятностью $P = \frac{6}{18}$
        (Осталось: 12 Ж, 5 М; всего 17)
        • 3-й выбор
          • Выбрана женщина (Ж) с вероятностью $P = \frac{12}{17}$ (итог: ММЖ)
          • Выбран мужчина (М) с вероятностью $P = \frac{5}{17}$ (итог: МММ)
      • Выбрана женщина (Ж) с вероятностью $P = \frac{12}{18}$
        (Осталось: 11 Ж, 6 М; всего 17)
        • 3-й выбор
          • Выбрана женщина (Ж) с вероятностью $P = \frac{11}{17}$ (итог: МЖЖ)
          • Выбран мужчина (М) с вероятностью $P = \frac{6}{17}$ (итог: МЖМ)
  • Выбрана женщина (Ж) с вероятностью $P = \frac{12}{19}$
    (Осталось: 11 Ж, 7 М; всего 18)
    • 2-й выбор
      • Выбран мужчина (М) с вероятностью $P = \frac{7}{18}$
        (Осталось: 11 Ж, 6 М; всего 17)
        • 3-й выбор
          • Выбрана женщина (Ж) с вероятностью $P = \frac{11}{17}$ (итог: ЖМЖ)
          • Выбран мужчина (М) с вероятностью $P = \frac{6}{17}$ (итог: ЖММ)
      • Выбрана женщина (Ж) с вероятностью $P = \frac{11}{18}$
        (Осталось: 10 Ж, 7 М; всего 17)
        • 3-й выбор
          • Выбрана женщина (Ж) с вероятностью $P = \frac{10}{17}$ (итог: ЖЖЖ)
          • Выбран мужчина (М) с вероятностью $P = \frac{7}{17}$ (итог: ЖЖМ)

Ответ: Дендрограмма опыта представлена выше.