Номер 18.3, страница 158 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 18. Зависимые и независимые события. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 18.3, страница 158.

18.3. В коробке лежат несколько шаров одного цвета: либо все красные, либо все синие. Вероятность того, что в коробке лежат красные шары, равна $ \frac{1}{2} $. Из коробки наугад последовательно берут два шара.

1) Какова вероятность того, что второй вытянутый шар окажется красным?

2) Какова вероятность того, что второй вытянутый шар окажется красным, если первый вытянутый шар также оказался красным?

3) Какова вероятность того, что второй вытянутый шар окажется красным, если первый вытянутый шар оказался синим?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• Событие $H_R$ — в коробке лежат красные шары.
• Событие $H_B$ — в коробке лежат синие шары.

По условию, вероятность того, что в коробке лежат красные шары, равна $1/2$. Следовательно, $P(H_R) = 1/2$.

Так как в коробке могут быть шары только одного цвета (либо все красные, либо все синие), то события $H_R$ и $H_B$ являются несовместными и образуют полную группу. Значит, вероятность того, что в коробке лежат синие шары, также равна:

$P(H_B) = 1 - P(H_R) = 1 - 1/2 = 1/2$.

Также введем обозначения для событий, связанных с извлечением шаров:

• Событие $A_1$ — первый вытянутый шар красный.
• Событие $B_1$ — первый вытянутый шар синий.
• Событие $A_2$ — второй вытянутый шар красный.

1) Какова вероятность того, что второй вытянутый шар окажется красным?

Для нахождения вероятности события $A_2$ воспользуемся формулой полной вероятности. Событие $A_2$ может произойти в двух случаях: если в коробке изначально были красные шары ($H_R$) или если в ней были синие шары ($H_B$).

Формула полной вероятности выглядит так:

$P(A_2) = P(A_2|H_R) \cdot P(H_R) + P(A_2|H_B) \cdot P(H_B)$

Рассчитаем условные вероятности:

• $P(A_2|H_R)$ — вероятность вытянуть второй шар красным, если все шары в коробке красные. Эта вероятность равна 1, так как любой шар из этой коробки будет красным.
• $P(A_2|H_B)$ — вероятность вытянуть второй шар красным, если все шары в коробке синие. Эта вероятность равна 0, так как невозможно вытянуть красный шар из коробки с синими шарами.

Подставим значения в формулу:

$P(A_2) = 1 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + 0 = \frac{1}{2}$

Ответ: $1/2$

2) Какова вероятность того, что второй вытянутый шар окажется красным, если первый вытянутый шар также оказался красным?

Нам нужно найти условную вероятность $P(A_2|A_1)$.

По определению условной вероятности:

$P(A_2|A_1) = \frac{P(A_1 \cap A_2)}{P(A_1)}$

Сначала найдем вероятность события $A_1$ (первый шар — красный) по формуле полной вероятности:

$P(A_1) = P(A_1|H_R) \cdot P(H_R) + P(A_1|H_B) \cdot P(H_B) = 1 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Теперь найдем вероятность события $A_1 \cap A_2$ (оба вытянутых шара — красные). Также используем формулу полной вероятности:

$P(A_1 \cap A_2) = P(A_1 \cap A_2|H_R) \cdot P(H_R) + P(A_1 \cap A_2|H_B) \cdot P(H_B)$

• $P(A_1 \cap A_2|H_R)$ — вероятность того, что оба шара красные, если в коробке все шары красные. Эта вероятность равна 1.
• $P(A_1 \cap A_2|H_B)$ — вероятность того, что оба шара красные, если в коробке все шары синие. Эта вероятность равна 0.

$P(A_1 \cap A_2) = 1 \cdot \frac{1}{2} + 0 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

Теперь можем рассчитать искомую условную вероятность:

$P(A_2|A_1) = \frac{1/2}{1/2} = 1$

Логическое объяснение: если первый вытянутый шар оказался красным, это означает, что в коробке не могли находиться синие шары. Следовательно, в коробке находятся только красные шары. Поэтому любой следующий шар, извлеченный из коробки, гарантированно будет красным.

Ответ: $1$

3) Какова вероятность того, что второй вытянутый шар окажется красным, если первый вытянутый шар оказался синим?

Нам нужно найти условную вероятность $P(A_2|B_1)$, где $B_1$ — событие, что первый вытянутый шар синий.

Событие "первый вытянутый шар — синий" ($B_1$) означает, что в коробке не могли быть красные шары. Таким образом, мы с уверенностью можем сказать, что в коробке находятся только синие шары (произошло событие $H_B$).

Если в коробке находятся только синие шары, то вероятность вытянуть из нее красный шар (событие $A_2$) равна нулю.

Формально, мы ищем $P(A_2|B_1)$. По определению:

$P(A_2|B_1) = \frac{P(A_2 \cap B_1)}{P(B_1)}$

Рассмотрим событие $A_2 \cap B_1$ — "первый шар синий, а второй красный". Поскольку по условию все шары в коробке одного цвета, это событие является невозможным. Вероятность невозможного события равна 0.

$P(A_2 \cap B_1) = 0$

Следовательно,

$P(A_2|B_1) = \frac{0}{P(B_1)} = 0$

(Вероятность $P(B_1)$ не равна нулю, она равна $1/2$, как можно показать аналогично расчету $P(A_1)$).

Ответ: $0$