Номер 18.8, страница 159 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 18. Зависимые и независимые события. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 18.8, страница 159.

18.8. Известно, что $P(A) = 0,3$, $P(B) = 0,5$ и $P(A \cup B) = 0,6$. Найдите:

1) $P(A \cap B);$

2) $P_A(B);$

3) $P_B(A).$

1) $P(A \cap B)$;

Для нахождения вероятности пересечения (совместного наступления) двух событий $A$ и $B$ воспользуемся формулой сложения вероятностей для совместных событий:
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$
Из этой формулы выразим искомую вероятность $P(A \cap B)$:
$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$
Подставим известные значения из условия: $P(A) = 0,3$, $P(B) = 0,5$ и $P(A \cup B) = 0,6$.
$P(A \cap B) = 0,3 + 0,5 - 0,6 = 0,8 - 0,6 = 0,2$
Ответ: 0,2

2) $P_A(B)$;

Вероятность $P_A(B)$ (также обозначается как $P(B|A)$) — это условная вероятность наступления события $B$ при условии, что событие $A$ уже произошло. Она вычисляется по формуле условной вероятности:
$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$
Из предыдущего пункта мы нашли, что $P(A \cap B) = 0,2$. По условию задачи, $P(A) = 0,3$.
Подставим эти значения в формулу:
$P_A(B) = \frac{0,2}{0,3} = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$

3) $P_B(A)$.

Вероятность $P_B(A)$ (также обозначается как $P(A|B)$) — это условная вероятность события $A$ при условии, что событие $B$ уже наступило. Формула для ее расчета:
$P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$
Используем найденное ранее значение $P(A \cap B) = 0,2$ и данное по условию значение $P(B) = 0,5$:
$P_B(A) = \frac{0,2}{0,5} = \frac{2}{5} = 0,4$
Ответ: 0,4