Номер 18.11, страница 159 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 18. Зависимые и независимые события. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 18.11, страница 159.

18.11. Из коробки, в которой лежат 20 синих и 15 красных шаров, наугад берут сначала один шар, а потом ещё один. Известно, что первый шар был синим. Вычислите вероятность того, что второй шар окажется красным. Составьте дендрограмму этого опыта.

Вычислите вероятность того, что второй шар окажется красным

Для решения этой задачи воспользуемся понятием условной вероятности.

Пусть событие $A$ заключается в том, что первый вынутый шар был синим, а событие $B$ — в том, что второй вынутый шар оказался красным. Нам нужно найти вероятность события $B$ при условии, что событие $A$ уже произошло, то есть $P(B|A)$.

Изначальные условия:

• Количество синих шаров: 20
• Количество красных шаров: 15
• Общее количество шаров: $20 + 15 = 35$

По условию, первый шар, который вынули, был синим (событие $A$ произошло). После этого в коробке изменилось количество шаров:

• Количество синих шаров стало: $20 - 1 = 19$
• Количество красных шаров не изменилось: 15
• Новое общее количество шаров: $35 - 1 = 34$

Теперь мы можем вычислить вероятность того, что второй шар будет красным. Эта вероятность равна отношению количества оставшихся красных шаров к новому общему числу шаров в коробке.

$P(B|A) = \frac{\text{количество красных шаров}}{\text{новое общее количество шаров}} = \frac{15}{34}$

Ответ: Вероятность того, что второй шар окажется красным, при условии, что первый был синим, равна $\frac{15}{34}$.

---

Составьте дендрограмму этого опыта

Дендрограмма (или дерево вероятностей) показывает все возможные последовательности событий и их вероятности. Обозначим "С" — синий шар, "К" — красный шар.

Первый этап (извлечение первого шара):

• Вероятность вынуть синий шар (С₁): $P(С_1) = \frac{20}{35} = \frac{4}{7}$
• Вероятность вынуть красный шар (К₁): $P(К_1) = \frac{15}{35} = \frac{3}{7}$

Второй этап (извлечение второго шара):
Вероятности на этом этапе зависят от результата первого этапа, так как в коробке остается 34 шара.

• Если первый шар был синим (С₁): в коробке осталось 19 синих и 15 красных.
  • Вероятность вынуть второй синий шар (С₂): $P(С_2|С_1) = \frac{19}{34}$
  • Вероятность вынуть второй красный шар (К₂): $P(К_2|С_1) = \frac{15}{34}$
• Если первый шар был красным (К₁): в коробке осталось 20 синих и 14 красных.
  • Вероятность вынуть второй синий шар (С₂): $P(С_2|К_1) = \frac{20}{34} = \frac{10}{17}$
  • Вероятность вынуть второй красный шар (К₂): $P(К_2|К_1) = \frac{14}{34} = \frac{7}{17}$

Схематично дендрограмму можно представить так:

 /-- Второй Синий (P = 19/34) /-- Первый Синий ---| / (P = 20/35) \-- Второй Красный (P = 15/34) /Начало \ \ /-- Второй Синий (P = 20/34) \-- Первый Красный --| (P = 15/35) \-- Второй Красный (P = 14/34)

Ответ: Дендрограмма опыта представлена выше в виде описания и схемы.