Номер 18.18, страница 160 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 18. Зависимые и независимые события. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 18.18, страница 160.

18.18. На проспекте установлено два светофора. Вероятность зафиксировать зелёный свет на первом светофоре равна 0,8, а на втором светофоре – 0,9. Вероятность зафиксировать зелёный свет одновременно на обоих светофорах равна 0,7. Найдите вероятность:

1) зафиксировать зелёный свет на первом светофоре при условии, что на втором светофоре также горит зелёный свет;

2) зафиксировать зелёный свет на втором светофоре при условии, что на первом светофоре также горит зелёный свет;

3) зафиксировать сигнал, запрещающий движение, на первом светофоре при условии, что на втором светофоре горит зелёный свет;

4) зафиксировать зелёный свет на втором светофоре при условии, что на первом светофоре горит сигнал, запрещающий движение.

Для решения задачи введём обозначения для событий:

Событие $A$ — на первом светофоре зафиксирован зелёный свет. По условию, вероятность этого события $P(A) = 0,8$.

Событие $B$ — на втором светофоре зафиксирован зелёный свет. По условию, вероятность этого события $P(B) = 0,9$.

Событие $A \cap B$ — зелёный свет зафиксирован одновременно на обоих светофорах. По условию, вероятность этого события $P(A \cap B) = 0,7$.

Для решения всех пунктов задачи будем использовать формулу условной вероятности: вероятность события X при условии, что произошло событие Y, вычисляется как $P(X|Y) = \frac{P(X \cap Y)}{P(Y)}$.

1) зафиксировать зелёный свет на первом светофоре при условии, что на втором светофоре также горит зелёный свет;

В данном случае нам нужно найти вероятность события $A$ при условии, что произошло событие $B$, то есть $P(A|B)$.

Используем формулу условной вероятности:

$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

Подставляем данные из условия:

$P(A|B) = \frac{0,7}{0,9} = \frac{7}{9}$

Ответ: $\frac{7}{9}$.

2) зафиксировать зелёный свет на втором светофоре при условии, что на первом светофоре также горит зелёный свет;

Здесь требуется найти вероятность события $B$ при условии, что произошло событие $A$, то есть $P(B|A)$.

Используем ту же формулу условной вероятности:

$P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

Подставляем данные из условия:

$P(B|A) = \frac{0,7}{0,8} = \frac{7}{8} = 0,875$

Ответ: 0,875.

3) зафиксировать сигнал, запрещающий движение, на первом светофоре при условии, что на втором светофоре горит зелёный свет;

Пусть событие $A'$ — на первом светофоре зафиксирован сигнал, запрещающий движение. Это событие, противоположное событию $A$.

Нам нужно найти вероятность события $A'$ при условии, что произошло событие $B$, то есть $P(A'|B)$.

События $A$ и $A'$ являются противоположными, поэтому при наступлении события $B$ обязательно произойдёт либо $A$, либо $A'$. Это означает, что сумма их условных вероятностей равна единице: $P(A|B) + P(A'|B) = 1$.

Из первого пункта мы уже знаем, что $P(A|B) = \frac{7}{9}$.

Следовательно:

$P(A'|B) = 1 - P(A|B) = 1 - \frac{7}{9} = \frac{2}{9}$

Ответ: $\frac{2}{9}$.

4) зафиксировать зелёный свет на втором светофоре при условии, что на первом светофоре горит сигнал, запрещающий движение.

Здесь нам нужно найти вероятность события $B$ при условии, что произошло событие $A'$ (на первом светофоре запрещающий сигнал), то есть $P(B|A')$.

Применим формулу условной вероятности: $P(B|A') = \frac{P(B \cap A')}{P(A')}$.

Сначала найдём вероятность события $A'$. Так как $A'$ — событие, противоположное $A$, то:

$P(A') = 1 - P(A) = 1 - 0,8 = 0,2$.

Теперь найдём вероятность совместного наступления событий $B$ и $A'$ ($P(B \cap A')$). Событие $B$ (зелёный на втором) может произойти вместе с событием $A$ (зелёный на первом) или вместе с событием $A'$ (не зелёный на первом). По формуле полной вероятности:

$P(B) = P(A \cap B) + P(A' \cap B)$

Отсюда выразим и вычислим искомую вероятность:

$P(A' \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0,9 - 0,7 = 0,2$.

Теперь мы можем рассчитать условную вероятность $P(B|A')$:

$P(B|A') = \frac{P(A' \cap B)}{P(A')} = \frac{0,2}{0,2} = 1$

Ответ: 1.