Номер 18.19, страница 160 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 18. Зависимые и независимые события. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 18.19, страница 160.

18.19. Пиццерия предлагает по желанию посетителя добавлять в пиццу бекон и/или грибы. Вероятность того, что посетитель попросит добавить бекон, равна 0,6, а грибы – 0,7. Вероятность же того, что посетитель попросит добавить в пиццу бекон или грибы, равна 0,8. Найдите вероятность того, что:

1) посетитель попросит добавить бекон, если известно, что он уже попросил добавить грибы;

2) посетитель попросит добавить грибы, если известно, что он не любит бекон.

Для решения задачи введем следующие обозначения для событий:
A – посетитель попросит добавить в пиццу бекон.
Г – посетитель попросит добавить в пиццу грибы.

Исходя из условия задачи, мы имеем следующие вероятности:
Вероятность добавления бекона: $P(A) = 0,6$
Вероятность добавления грибов: $P(Г) = 0,7$
Вероятность добавления бекона или грибов: $P(A \cup Г) = 0,8$

Прежде чем отвечать на вопросы, найдем вероятность того, что посетитель попросит добавить и бекон, и грибы одновременно. Это совместная вероятность $P(A \cap Г)$. Воспользуемся формулой сложения вероятностей для двух событий:
$P(A \cup Г) = P(A) + P(Г) - P(A \cap Г)$
Выразим из нее искомую вероятность $P(A \cap Г)$:
$P(A \cap Г) = P(A) + P(Г) - P(A \cup Г)$
Подставим известные значения:
$P(A \cap Г) = 0,6 + 0,7 - 0,8 = 0,5$

1) посетитель попросит добавить бекон, если известно, что он уже попросил добавить грибы;
В этом пункте требуется найти условную вероятность события A (попросит бекон) при условии, что событие Г (попросил грибы) уже произошло. Эта вероятность обозначается как $P(A|Г)$.
Формула для условной вероятности:
$P(A|Г) = \frac{P(A \cap Г)}{P(Г)}$
Мы уже рассчитали $P(A \cap Г) = 0,5$, а $P(Г)$ дана в условии и равна 0,7. Подставим значения в формулу:
$P(A|Г) = \frac{0,5}{0,7} = \frac{5}{7}$
Ответ: $\frac{5}{7}$

2) посетитель попросит добавить грибы, если известно, что он не любит бекон.
Событие "посетитель не любит бекон" означает, что он не попросит его добавить. Это событие, противоположное событию A, и обозначается как $\bar{A}$. Нам нужно найти условную вероятность события Г (попросит грибы) при условии, что произошло событие $\bar{A}$ (не попросил бекон), то есть $P(Г|\bar{A})$.
Формула условной вероятности в данном случае:
$P(Г|\bar{A}) = \frac{P(Г \cap \bar{A})}{P(\bar{A})}$
Сначала найдем вероятность события $\bar{A}$:
$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,6 = 0,4$
Далее найдем вероятность $P(Г \cap \bar{A})$, то есть вероятность того, что посетитель попросит грибы, но не попросит бекон. Эту вероятность можно найти, зная, что событие Г может произойти либо вместе с A, либо вместе с $\bar{A}$:
$P(Г) = P(Г \cap A) + P(Г \cap \bar{A})$
Отсюда:
$P(Г \cap \bar{A}) = P(Г) - P(Г \cap A)$
Подставим известные значения ($P(Г \cap A) = P(A \cap Г) = 0,5$):
$P(Г \cap \bar{A}) = 0,7 - 0,5 = 0,2$
Теперь мы можем вычислить искомую условную вероятность:
$P(Г|\bar{A}) = \frac{0,2}{0,4} = \frac{2}{4} = 0,5$
Ответ: $0,5$