Номер 18.25, страница 161 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 18. Зависимые и независимые события. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 18.25, страница 161.

18.25. Пусть $A$ и $B$ – независимые события некоторого испытания с ненулевыми вероятностями. Могут ли события $A$ и $B$ быть несовместными?

Для ответа на этот вопрос необходимо проанализировать определения независимых и несовместных событий.

По определению, два события $A$ и $B$ называются независимыми, если вероятность их одновременного наступления (пересечения) равна произведению их вероятностей:
$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

По определению, два события $A$ и $B$ называются несовместными, если они не могут произойти в одном и том же испытании. Это означает, что их пересечение является невозможным событием, и вероятность их совместного наступления равна нулю:
$P(A \cap B) = 0$

В условии задачи дано, что события $A$ и $B$ независимы, а их вероятности ненулевые. Это можно записать так:
$P(A) > 0$
$P(B) > 0$

Теперь предположим, что события $A$ и $B$ могут быть несовместными. Если они несовместны, то должно выполняться равенство $P(A \cap B) = 0$.

С другой стороны, так как события $A$ и $B$ по условию независимы, должно выполняться равенство $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

Приравняем правые части этих выражений:
$P(A) \cdot P(B) = 0$

Произведение двух чисел равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. Следовательно, из этого равенства вытекает, что либо $P(A) = 0$, либо $P(B) = 0$.

Однако это напрямую противоречит условию задачи, в котором сказано, что вероятности событий $A$ и $B$ ненулевые ($P(A) > 0$ и $P(B) > 0$). Если оба множителя строго больше нуля, то их произведение также должно быть строго больше нуля: $P(A) \cdot P(B) > 0$.

Мы пришли к противоречию: из предположения о несовместности следует, что $P(A \cap B) = 0$, а из условия независимости и ненулевых вероятностей следует, что $P(A \cap B) > 0$. Вероятность одного и того же события не может быть одновременно равна нулю и больше нуля. Следовательно, наше первоначальное предположение неверно.

Ответ: Нет, независимые события с ненулевыми вероятностями не могут быть несовместными.