Номер 18.23, страница 161 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 18. Зависимые и независимые события. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 18.23, страница 161.

18.23. Из коробки, в которой лежат 10 синих и 18 красных шаров, наугад берут сначала один шар, а потом ещё один. Вычислите вероятность того, что первый взятый шар синий, при условии, что второй шар оказался красным.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой условной вероятности. Пусть событие $A$ заключается в том, что первый взятый шар — синий, а событие $B$ — в том, что второй взятый шар — красный. Нам необходимо найти вероятность события $A$ при условии, что событие $B$ уже произошло, то есть $P(A|B)$.

Формула условной вероятности имеет вид: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$, где $P(A \cap B)$ — это вероятность того, что первый шар синий и второй красный, а $P(B)$ — это полная вероятность того, что второй шар окажется красным.

Сначала вычислим $P(A \cap B)$.
Всего в коробке $10 + 18 = 28$ шаров.
Вероятность того, что первый шар окажется синим, равна $\frac{10}{28}$.
После того как извлекли один синий шар, в коробке осталось 27 шаров, из которых 18 красных.
Вероятность того, что второй шар окажется красным (при условии, что первый был синим), равна $\frac{18}{27}$.
Вероятность того, что первый шар синий, а второй — красный, равна произведению этих вероятностей:
$P(A \cap B) = \frac{10}{28} \times \frac{18}{27} = \frac{5}{14} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{42} = \frac{5}{21}$.

Теперь вычислим полную вероятность $P(B)$, то есть вероятность того, что второй шар окажется красным. Это может произойти в двух взаимоисключающих случаях.
Первый случай: первый шар был синим, а второй — красным. Вероятность этого мы уже нашли: $P(\text{первый синий, второй красный}) = \frac{5}{21}$.
Второй случай: оба шара были красными. Вероятность вытащить первый красный шар равна $\frac{18}{28}$. После этого в коробке останется 27 шаров, из которых 17 красных. Вероятность вытащить второй красный шар равна $\frac{17}{27}$. Вероятность этого случая: $P(\text{первый красный, второй красный}) = \frac{18}{28} \times \frac{17}{27} = \frac{9}{14} \times \frac{17}{27} = \frac{1}{14} \times \frac{17}{3} = \frac{17}{42}$.
Полная вероятность $P(B)$ равна сумме вероятностей этих двух случаев:
$P(B) = \frac{5}{21} + \frac{17}{42} = \frac{10}{42} + \frac{17}{42} = \frac{27}{42} = \frac{9}{14}$.

Наконец, подставим найденные значения в формулу условной вероятности:
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{5/21}{9/14} = \frac{5}{21} \cdot \frac{14}{9} = \frac{5 \cdot 14}{21 \cdot 9} = \frac{5 \cdot 2 \cdot 7}{3 \cdot 7 \cdot 9} = \frac{10}{27}$.

Ответ: $\frac{10}{27}$