Номер 18.28, страница 162 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 4. Элементы теории вероятностей. Параграф 18. Зависимые и независимые события. Упражнения - номер 18.28, страница 162.

Учебник.

18.28. Среди лотерейных билетов $10\%$ выигрышных. Игрок приобрёл 3 билета. Какова вероятность того, что среди купленных билетов:

1) не будет выигрышных;

2) будет ровно один выигрышный;

3) будет ровно два выигрышных;

4) будут все выигрышные?

Решение.

Решение 2.

Данная задача решается с использованием формулы Бернулли для последовательности независимых испытаний. Покупка каждого билета является таким испытанием.
Вероятность того, что в $n$ испытаниях событие наступит ровно $k$ раз, вычисляется по формуле:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$
где:

• $n=3$ – общее число купленных билетов;
• $k$ – число выигрышных билетов;
• $p=0.1$ – вероятность выигрыша для одного билета (10%);
• $q=1-p=0.9$ – вероятность проигрыша для одного билета;
• $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ – число сочетаний (количество способов выбрать $k$ элементов из $n$).

1) не будет выигрышных;

В этом случае число выигрышных билетов $k=0$. Мы ищем вероятность того, что все 3 билета невыигрышные.
Подставим значения в формулу Бернулли:
$P_3(0) = C_3^0 \cdot (0.1)^0 \cdot (0.9)^{3-0} = \frac{3!}{0! \cdot 3!} \cdot 1 \cdot (0.9)^3 = 1 \cdot 1 \cdot 0.729 = 0.729$.

Ответ: 0,729

2) будет ровно один выигрышный;

Здесь число выигрышных билетов $k=1$. Это означает, что один билет выигрышный, а два — нет.
Рассчитаем вероятность по формуле:
$P_3(1) = C_3^1 \cdot (0.1)^1 \cdot (0.9)^{3-1} = \frac{3!}{1! \cdot 2!} \cdot 0.1 \cdot (0.9)^2 = 3 \cdot 0.1 \cdot 0.81 = 0.243$.

Ответ: 0,243

3) будет ровно два выигрышных;

В этом случае число выигрышных билетов $k=2$.
Применим формулу Бернулли:
$P_3(2) = C_3^2 \cdot (0.1)^2 \cdot (0.9)^{3-2} = \frac{3!}{2! \cdot 1!} \cdot (0.1)^2 \cdot 0.9 = 3 \cdot 0.01 \cdot 0.9 = 0.027$.

Ответ: 0,027

4) будут все выигрышные?

Здесь все три билета выигрышные, то есть $k=3$.
Вычисляем вероятность:
$P_3(3) = C_3^3 \cdot (0.1)^3 \cdot (0.9)^{3-3} = \frac{3!}{3! \cdot 0!} \cdot (0.1)^3 \cdot 1 = 1 \cdot 0.001 \cdot 1 = 0.001$.

Ответ: 0,001

Проверка: Сумма вероятностей всех возможных исходов (0, 1, 2 или 3 выигрышных билета) должна быть равна единице, так как эти события образуют полную группу.
$P_3(0) + P_3(1) + P_3(2) + P_3(3) = 0.729 + 0.243 + 0.027 + 0.001 = 1.000$.
Расчеты верны.