Номер 1, страница 167 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы к параграфу. § 19. Схема Бернулли. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 1, страница 167.

1. Что называют схемой Бернулли?

1. Что называют схемой Бернулли?

Схемой Бернулли (или испытаниями Бернулли) в теории вероятностей называют модель для описания последовательности независимых случайных экспериментов, каждый из которых имеет только два исхода. Эта схема применима, когда выполняются следующие условия:

• Проводится определенное количество испытаний, которое мы обозначим как $n$.
• Все $n$ испытаний являются независимыми. Это означает, что результат любого из испытаний никак не влияет на результаты всех остальных.
• Каждое отдельное испытание может иметь только два взаимоисключающих исхода. По традиции их называют «успех» и «неудача».
• Вероятность наступления «успеха» в каждом испытании одинакова и обозначается буквой $p$.
• Следовательно, вероятность «неудачи» в каждом испытании также постоянна и равна $q = 1 - p$.

Основная цель применения схемы Бернулли — вычисление вероятности того, что в серии из $n$ испытаний событие «успех» произойдет ровно $k$ раз. Для этого используется формула Бернулли:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

где:

• $P_n(k)$ — вероятность того, что в $n$ испытаниях произойдет ровно $k$ успехов.
• $C_n^k$ — число сочетаний из $n$ по $k$. Оно показывает, сколькими способами можно выбрать $k$ успешных испытаний из $n$ общих. Рассчитывается как $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
• $p^k$ — вероятность совместного наступления $k$ успехов (поскольку испытания независимы, их вероятности перемножаются).
• $q^{n-k}$ — вероятность совместного наступления $(n-k)$ неудач.

Пример: Стрелок делает 4 выстрела по мишени ($n=4$). Вероятность попадания («успех») при каждом выстреле равна 0.8 ($p=0.8$). Найдем вероятность того, что стрелок попадет в мишень ровно 3 раза ($k=3$).

Вероятность промаха («неудача»): $q = 1 - p = 1 - 0.8 = 0.2$.

Подставляем значения в формулу Бернулли:

$P_4(3) = C_4^3 \cdot (0.8)^3 \cdot (0.2)^{4-3}$

$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = 4$

$P_4(3) = 4 \cdot (0.8)^3 \cdot (0.2)^1 = 4 \cdot 0.512 \cdot 0.2 = 0.4096$

Таким образом, вероятность трех попаданий в серии из четырех выстрелов составляет 40.96%.

Ответ: Схемой Бернулли называют последовательность из $n$ независимых испытаний, в каждом из которых есть только два исхода («успех» и «неудача») с постоянными вероятностями $p$ и $q=1-p$ соответственно.