Номер 19.4, страница 167 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 19. Схема Бернулли. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 19.4, страница 167.

19.4. Какое количество успешных исходов наименее вероятно в схеме Бер-нулли с параметрами $n = 4$ и $p = 75\%$?

Для решения задачи о нахождении наименее вероятного количества успехов в серии испытаний Бернулли, мы воспользуемся формулой Бернулли. Эта формула позволяет вычислить вероятность получения ровно $k$ успехов в $n$ независимых испытаниях:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

В этой формуле:
$n$ — общее число испытаний. По условию, $n = 4$.
$p$ — вероятность "успеха" в одном испытании. По условию, $p = 75\% = 0.75$.
$q$ — вероятность "неудачи", которая равна $1 - p = 1 - 0.75 = 0.25$.
$k$ — количество "успешных" исходов, которое может принимать значения от 0 до 4.
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — это биномиальный коэффициент (число сочетаний).

Наша задача — вычислить вероятность $P_4(k)$ для каждого возможного значения $k$ (0, 1, 2, 3, 4) и найти, при каком $k$ эта вероятность будет минимальной.

Вероятность для k = 0
Это вероятность того, что не произойдет ни одного успешного исхода.
$P_4(0) = C_4^0 \cdot (0.75)^0 \cdot (0.25)^{4-0} = 1 \cdot 1 \cdot (0.25)^4 = (\frac{1}{4})^4 = \frac{1}{256}$

Вероятность для k = 1
Это вероятность того, что произойдет ровно один успешный исход.
$P_4(1) = C_4^1 \cdot (0.75)^1 \cdot (0.25)^{4-1} = 4 \cdot 0.75 \cdot (0.25)^3 = 3 \cdot (\frac{1}{4})^3 = \frac{3}{64} = \frac{12}{256}$

Вероятность для k = 2
Это вероятность того, что произойдет ровно два успешных исхода.
$P_4(2) = C_4^2 \cdot (0.75)^2 \cdot (0.25)^{4-2} = \frac{4!}{2!2!} \cdot (\frac{3}{4})^2 \cdot (\frac{1}{4})^2 = 6 \cdot \frac{9}{16} \cdot \frac{1}{16} = \frac{54}{256}$

Вероятность для k = 3
Это вероятность того, что произойдет ровно три успешных исхода.
$P_4(3) = C_4^3 \cdot (0.75)^3 \cdot (0.25)^{4-3} = 4 \cdot (\frac{3}{4})^3 \cdot (\frac{1}{4})^1 = 4 \cdot \frac{27}{64} \cdot \frac{1}{4} = \frac{27}{64} = \frac{108}{256}$

Вероятность для k = 4
Это вероятность того, что произойдут все четыре успешных исхода.
$P_4(4) = C_4^4 \cdot (0.75)^4 \cdot (0.25)^{4-4} = 1 \cdot (\frac{3}{4})^4 \cdot 1 = \frac{81}{256}$

Теперь сравним полученные значения вероятностей:
$P_4(0) = \frac{1}{256} \approx 0.0039$
$P_4(1) = \frac{12}{256} \approx 0.0469$
$P_4(2) = \frac{54}{256} \approx 0.2109$
$P_4(3) = \frac{108}{256} \approx 0.4219$
$P_4(4) = \frac{81}{256} \approx 0.3164$
Мы видим, что наименьшее значение вероятности $P_4(0) = \frac{1}{256}$. Это значение соответствует случаю, когда количество успешных исходов равно 0.

Ответ: 0