Номер 2, страница 167 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Вопросы к параграфу. § 19. Схема Бернулли. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 2, страница 167.

2. По какой формуле можно найти вероятность количества успешных исходов в схеме Бернулли?

Вероятность получения определенного количества успешных исходов в серии независимых испытаний, известных как схема Бернулли, находится по одноименной формуле.

Схема Бернулли представляет собой последовательность из n независимых испытаний. В каждом из этих испытаний возможны только два исхода, которые условно называют «успех» и «неудача». Вероятность «успеха» в каждом отдельном испытании постоянна и равна p, следовательно, вероятность «неудачи» равна q = 1 - p.

Формула Бернулли позволяет вычислить вероятность того, что в n испытаниях произойдет ровно k «успехов». Она имеет следующий вид:

$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$

Рассмотрим каждый компонент этой формулы:
• $P_n(k)$ – это искомая вероятность того, что в n испытаниях наступит ровно k успехов.
• $n$ – общее количество проведенных независимых испытаний.
• $k$ – требуемое количество «успешных» исходов ($0 \le k \le n$).
• $p$ – вероятность «успеха» в одном отдельно взятом испытании.
• $q$ – вероятность «неудачи» в одном испытании, вычисляемая как $q = 1 - p$.
• $C_n^k$ – это число сочетаний из n по k (также может обозначаться как $\binom{n}{k}$). Этот коэффициент показывает, сколькими различными способами можно выбрать k позиций для «успехов» из общего числа n позиций. Формула для числа сочетаний:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
Здесь $n!$ (читается как «эн факториал») – это произведение всех целых чисел от 1 до n.

Таким образом, если подставить формулу для сочетаний, полная формула Бернулли будет выглядеть так:

$P_n(k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$

Логика этой формулы заключается в следующем: вероятность одной конкретной последовательности, содержащей k успехов и $(n-k)$ неудач, равна $p^k \cdot q^{n-k}$ (поскольку испытания независимы, их вероятности перемножаются). Число таких различных последовательностей равно $C_n^k$. Так как все эти последовательности равновероятны и взаимоисключающи, мы умножаем вероятность одной из них на их общее количество.

Ответ: Вероятность количества успешных исходов в схеме Бернулли можно найти по формуле Бернулли: $P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$, где $n$ — общее число испытаний, $k$ — число успешных исходов, $p$ — вероятность успеха в одном испытании, $q = 1-p$ — вероятность неудачи, а $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний.