Номер 18.31, страница 162 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 18. Зависимые и независимые события. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 18.31, страница 162.

18.31. Электрический блок (см. рис. 18.10) работает безотказно в течение года с вероятностью $p$. Для увеличения надёжности электрический блок дублируют ещё тремя такими же блоками так, что полученная система работает, когда работает, по крайней мере, один из блоков (рис. 18.12). Какова вероятность безотказной работы системы в течение года, если поломка каждого электрического блока происходит независимо от работы других блоков?

Рис. 18.10

$p$

Рис. 18.11

$p$
$p$

Рис. 18.12

$p$
$p$
$p$
$p$

Пусть событие $A$ заключается в том, что один электрический блок работает безотказно в течение года. По условию задачи, вероятность этого события $P(A) = p$.

Тогда вероятность противоположного события $ \overline{A} $, то есть поломки одного блока в течение года, равна $P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - p$.

Система состоит из четырех одинаковых блоков, соединенных параллельно. Такая система работает, если работает хотя бы один из составляющих ее блоков. Поломки блоков происходят независимо друг от друга.

Для нахождения вероятности безотказной работы системы удобно использовать метод вычисления через противоположное событие. Противоположным событием к "система работает" (т.е. "работает хотя бы один блок") является событие "система не работает" (т.е. "не работает ни один блок" или "все четыре блока сломались").

Обозначим событие $B$ - "система вышла из строя". Это событие наступает тогда и только тогда, когда все четыре блока выходят из строя одновременно. Поскольку поломки блоков являются независимыми событиями, вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей.

Вероятность поломки первого блока: $1 - p$.
Вероятность поломки второго блока: $1 - p$.
Вероятность поломки третьего блока: $1 - p$.
Вероятность поломки четвертого блока: $1 - p$.

Вероятность того, что все четыре блока сломаются, равна: $P(B) = (1 - p) \cdot (1 - p) \cdot (1 - p) \cdot (1 - p) = (1 - p)^4$.

Вероятность безотказной работы системы, обозначим ее $P(C)$, является вероятностью события, противоположного событию $B$. Следовательно, сумма их вероятностей равна 1: $P(C) + P(B) = 1$.

Отсюда находим искомую вероятность безотказной работы системы: $P(C) = 1 - P(B) = 1 - (1 - p)^4$.

Ответ: $1 - (1 - p)^4$