Номер 18.33, страница 163 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Готовимся к изучению новой темы. § 18. Зависимые и независимые события. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 18.33, страница 163.

18.33. Сколько пятибуквенных «слов» можно записать, используя в каждом слове 3 буквы «У» и 2 буквы «Н»?

18.33. Задача заключается в нахождении количества уникальных перестановок для набора букв, в котором есть повторения. У нас есть 5 позиций в слове, которые нужно заполнить тремя буквами «У» и двумя буквами «Н».

Эту задачу можно решить, используя формулу для числа перестановок с повторениями: $P(n_1, n_2, ...) = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot ...}$ где $n$ — общее количество элементов, а $n_1, n_2, ...$ — количество одинаковых элементов каждого типа.

В нашем случае общее количество букв $n = 5$. Из них $n_1 = 3$ (буквы «У») и $n_2 = 2$ (буквы «Н»).

Подставим значения в формулу: $P(3, 2) = \frac{5!}{3! \cdot 2!}$

Теперь рассчитаем значение выражения, зная, что $5! = 120$, $3! = 6$ и $2! = 2$: $P(3, 2) = \frac{120}{6 \cdot 2} = \frac{120}{12} = 10$

Также можно подойти к задаче с точки зрения комбинаторики, используя сочетания. Нам нужно выбрать 3 позиции для букв «У» из 5 доступных. Поскольку все буквы «У» идентичны, порядок их выбора не важен. Количество способов сделать это равно числу сочетаний из 5 по 3: $C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$

После того как 3 позиции для букв «У» выбраны, оставшиеся 2 позиции автоматически занимают буквы «Н». Таким образом, общее количество различных слов равно 10.

Ответ: 10