Номер 19.1, страница 167 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 19. Схема Бернулли. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 19.1, страница 167.

19.1. Найдите вероятность того, что в схеме Бернулли с параметрами $n$ и $p$ число успешных исходов равно $m$, если:

1) $n = 10, p = \frac{1}{4}, m = 2$;

2) $n = 8, p = 0,8, m = 8$;

3) $n = 5, p = 40\%, m = 3$.

Для решения этой задачи используется формула Бернулли. Она позволяет вычислить вероятность того, что в серии из $n$ независимых испытаний, в каждом из которых вероятность «успеха» постоянна и равна $p$, произойдет ровно $m$ «успешных» исходов. Формула имеет следующий вид:

$P_n(m) = C_n^m \cdot p^m \cdot q^{n-m}$

Здесь $n$ — общее количество испытаний, $m$ — число ожидаемых успехов, $p$ — вероятность успеха в одном испытании, $q = 1 - p$ — вероятность неудачи, а $C_n^m = \frac{n!}{m!(n-m)!}$ — биномиальный коэффициент, который показывает, сколькими способами можно выбрать $m$ успешных исходов из $n$ испытаний.

1)

В данном случае параметры испытаний следующие: общее число испытаний $n=10$, вероятность успеха в каждом испытании $p = \frac{1}{4}$, и мы ищем вероятность ровно $m=2$ успешных исходов.

Сначала определим вероятность неудачи $q$: $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

Далее вычислим биномиальный коэффициент $C_{10}^2$, то есть число способов, которыми можно выбрать 2 успешных исхода из 10: $C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$.

Теперь мы можем подставить все найденные значения в формулу Бернулли: $P_{10}(2) = C_{10}^2 \cdot p^2 \cdot q^{10-2} = 45 \cdot (\frac{1}{4})^2 \cdot (\frac{3}{4})^8$.

Произведем вычисления: $P_{10}(2) = 45 \cdot \frac{1^2}{4^2} \cdot \frac{3^8}{4^8} = 45 \cdot \frac{1}{16} \cdot \frac{6561}{65536} = \frac{45 \cdot 6561}{16 \cdot 65536} = \frac{295245}{1048576}$.

При переводе в десятичную дробь, получаем приблизительное значение: $P_{10}(2) \approx 0.28156...$

Ответ: $P_{10}(2) = \frac{295245}{1048576} \approx 0.2816$.

2)

Здесь параметры следующие: $n=8$ испытаний, вероятность успеха $p=0.8$, и необходимо найти вероятность того, что все $m=8$ испытаний окажутся успешными.

Найдем вероятность неудачи $q$: $q = 1 - p = 1 - 0.8 = 0.2$.

Вычислим биномиальный коэффициент $C_8^8$. Существует только один способ, которым все 8 испытаний могут быть успешными, поэтому: $C_8^8 = \frac{8!}{8!(8-8)!} = \frac{8!}{8!0!} = 1$.

Подставим значения в формулу Бернулли. Так как $m=n$, формула упрощается: $P_8(8) = C_8^8 \cdot p^8 \cdot q^{8-8} = 1 \cdot (0.8)^8 \cdot (0.2)^0$.

Поскольку любое число в нулевой степени равно 1, получаем: $P_8(8) = (0.8)^8$.

Вычислим значение: $P_8(8) = 0.16777216$.

Ответ: $P_8(8) = 0.16777216 \approx 0.1678$.

3)

Для этого случая даны следующие параметры: $n=5$ испытаний, вероятность успеха $p = 40\%$, и требуется найти вероятность $m=3$ успешных исходов.

В первую очередь, переведем вероятность успеха из процентов в десятичную дробь: $p = 40\% = \frac{40}{100} = 0.4$.

Далее найдем вероятность неудачи $q$: $q = 1 - p = 1 - 0.4 = 0.6$.

Вычислим биномиальный коэффициент $C_5^3$: $C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10$.

Подставим полученные значения в формулу Бернулли: $P_5(3) = C_5^3 \cdot p^3 \cdot q^{5-3} = 10 \cdot (0.4)^3 \cdot (0.6)^2$.

Произведем вычисления: $P_5(3) = 10 \cdot 0.064 \cdot 0.36 = 0.64 \cdot 0.36 = 0.2304$.

Ответ: $P_5(3) = 0.2304$.