Номер 19.7, страница 167 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 19. Схема Бернулли. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 19.7, страница 167.

19.7. Стрелок попадает в мишень с вероятностью $p$. Найдите вероятность того, что из 9 выстрелов стрелок попадёт в мишень ровно 6 раз.

19.7. Для решения этой задачи используется формула Бернулли, которая определяет вероятность наступления события ровно $k$ раз в серии из $n$ независимых испытаний.

Формула Бернулли имеет вид:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k}$
где:
$n$ — общее число испытаний (в данном случае — выстрелов),
$k$ — число интересующих нас "успешных" исходов (попаданий),
$p$ — вероятность "успеха" в одном испытании (вероятность попадания),
$(1-p)$ — вероятность "неудачи" в одном испытании (вероятность промаха),
$C_n^k$ — число сочетаний, показывающее, сколькими способами можно выбрать $k$ успешных исходов из $n$ испытаний.

Согласно условию задачи:
- общее число выстрелов $n = 9$,
- требуемое число попаданий $k = 6$,
- вероятность попадания при одном выстреле равна $p$.

Подставим эти значения в формулу Бернулли:
$P_9(6) = C_9^6 \cdot p^6 \cdot (1-p)^{9-6} = C_9^6 \cdot p^6 \cdot (1-p)^3$

Теперь необходимо вычислить число сочетаний $C_9^6$:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
$C_9^6 = \frac{9!}{6!(9-6)!} = \frac{9!}{6! \cdot 3!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6!}{6! \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{504}{6} = 84$

Теперь, подставив значение $C_9^6 = 84$ в наше выражение, получаем искомую вероятность:
$P_9(6) = 84 \cdot p^6 \cdot (1-p)^3$

Ответ: $84p^6(1-p)^3$