Номер 19.12, страница 168 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Авторы: Мерзляк А. Г., Номировский Д. А., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2016 - 2025
Уровень обучения: базовый
Цвет обложки: синий, зелёный
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика. Алгебра и начала математического анализа
Популярные ГДЗ в 11 классе
Упражнения. § 19. Схема Бернулли. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 19.12, страница 168.
№19.12 (с. 168)
Учебник. №19.12 (с. 168)
скриншот условия

19.12. Есть $r$ ящиков, в каждом из которых лежат $n$ чёрных и $m$ белых шаров. Из каждого ящика наугад берут по одному шару. Какова вероятность того, что среди взятых шаров будет ровно $k$ чёрных?
Решение. №19.12 (с. 168)

Решение 2. №19.12 (с. 168)
Данная задача описывается схемой независимых испытаний Бернулли. Каждое извлечение шара из одного из $r$ ящиков является отдельным независимым испытанием. Всего проводится $r$ таких испытаний.
Рассмотрим одно испытание: извлечение одного шара из произвольного ящика.
В каждом ящике находится $n$ чёрных и $m$ белых шаров. Общее число шаров в ящике равно $n + m$.
Вероятность извлечь чёрный шар (будем считать это «успехом») из одного ящика равна:$p = \frac{n}{n+m}$
Вероятность извлечь белый шар (будем считать это «неудачей») из одного ящика равна:$q = \frac{m}{n+m}$
Сумма этих вероятностей, как и положено, равна 1: $p + q = \frac{n}{n+m} + \frac{m}{n+m} = 1$.
Нам необходимо найти вероятность того, что в серии из $r$ испытаний произойдёт ровно $k$ успехов (будет вынуто $k$ чёрных шаров) и, соответственно, $r-k$ неудач (будет вынуто $r-k$ белых шаров).
Для этого применяется формула Бернулли:$P_r(k) = C_r^k \cdot p^k \cdot q^{r-k}$
Здесь:
- $P_r(k)$ — искомая вероятность.
- $C_r^k = \frac{r!}{k!(r-k)!}$ — число сочетаний, то есть количество способов выбрать те $k$ ящиков из $r$, из которых будут извлечены чёрные шары.
- $p^k$ — вероятность совместного наступления $k$ успехов (извлечения $k$ чёрных шаров из $k$ ящиков), так как испытания независимы.
- $q^{r-k}$ — вероятность совместного наступления $r-k$ неудач (извлечения $r-k$ белых шаров из оставшихся $r-k$ ящиков).
Подставим в формулу Бернулли найденные значения $p$ и $q$:$P_r(k) = C_r^k \left(\frac{n}{n+m}\right)^k \left(\frac{m}{n+m}\right)^{r-k}$
Упростим выражение, выполнив действия со степенями:$P_r(k) = C_r^k \frac{n^k}{(n+m)^k} \frac{m^{r-k}}{(n+m)^{r-k}} = C_r^k \frac{n^k m^{r-k}}{(n+m)^{k+(r-k)}} = C_r^k \frac{n^k m^{r-k}}{(n+m)^r}$
Данная формула справедлива для $k \in \{0, 1, ..., r\}$.
Ответ: $C_r^k \frac{n^k m^{r-k}}{(n+m)^r}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 19.12 расположенного на странице 168 к учебнику 2016 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №19.12 (с. 168), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Номировский (Дмитрий Анатольевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), ФГОС (старый) базовый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.