Номер 19.12, страница 168 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 4. Элементы теории вероятностей. Параграф 19. Схема Бернулли. Упражнения - номер 19.12, страница 168.

Учебник.

19.12. Есть $r$ ящиков, в каждом из которых лежат $n$ чёрных и $m$ белых шаров. Из каждого ящика наугад берут по одному шару. Какова вероятность того, что среди взятых шаров будет ровно $k$ чёрных?

Решение.

Решение 2.

Данная задача описывается схемой независимых испытаний Бернулли. Каждое извлечение шара из одного из $r$ ящиков является отдельным независимым испытанием. Всего проводится $r$ таких испытаний.

Рассмотрим одно испытание: извлечение одного шара из произвольного ящика.

В каждом ящике находится $n$ чёрных и $m$ белых шаров. Общее число шаров в ящике равно $n + m$.

Вероятность извлечь чёрный шар (будем считать это «успехом») из одного ящика равна:$p = \frac{n}{n+m}$

Вероятность извлечь белый шар (будем считать это «неудачей») из одного ящика равна:$q = \frac{m}{n+m}$

Сумма этих вероятностей, как и положено, равна 1: $p + q = \frac{n}{n+m} + \frac{m}{n+m} = 1$.

Нам необходимо найти вероятность того, что в серии из $r$ испытаний произойдёт ровно $k$ успехов (будет вынуто $k$ чёрных шаров) и, соответственно, $r-k$ неудач (будет вынуто $r-k$ белых шаров).

Для этого применяется формула Бернулли:$P_r(k) = C_r^k \cdot p^k \cdot q^{r-k}$

Здесь:

• $P_r(k)$ — искомая вероятность.
• $C_r^k = \frac{r!}{k!(r-k)!}$ — число сочетаний, то есть количество способов выбрать те $k$ ящиков из $r$, из которых будут извлечены чёрные шары.
• $p^k$ — вероятность совместного наступления $k$ успехов (извлечения $k$ чёрных шаров из $k$ ящиков), так как испытания независимы.
• $q^{r-k}$ — вероятность совместного наступления $r-k$ неудач (извлечения $r-k$ белых шаров из оставшихся $r-k$ ящиков).

Подставим в формулу Бернулли найденные значения $p$ и $q$:$P_r(k) = C_r^k \left(\frac{n}{n+m}\right)^k \left(\frac{m}{n+m}\right)^{r-k}$

Упростим выражение, выполнив действия со степенями:$P_r(k) = C_r^k \frac{n^k}{(n+m)^k} \frac{m^{r-k}}{(n+m)^{r-k}} = C_r^k \frac{n^k m^{r-k}}{(n+m)^{k+(r-k)}} = C_r^k \frac{n^k m^{r-k}}{(n+m)^r}$

Данная формула справедлива для $k \in \{0, 1, ..., r\}$.

Ответ: $C_r^k \frac{n^k m^{r-k}}{(n+m)^r}$