Номер 19.15, страница 168 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 19. Схема Бернулли. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 19.15, страница 168.

19.15. Во время эпидемии гриппа вероятность того, что врач, контактирующий с больными, сам заболеет в течение недели, равна 0,08. Найдите вероятность того, что из 25 лечащих врачей поликлиники в течение недели заболеет не менее 2 человек.

Данная задача решается с использованием схемы независимых испытаний Бернулли. У нас есть $n=25$ врачей, и для каждого из них мы рассматриваем событие "врач заболеет в течение недели". Эти события независимы.

Введем следующие обозначения:

• $n = 25$ — общее число врачей (количество испытаний).
• $p = 0,08$ — вероятность того, что один врач заболеет (вероятность "успеха").
• $q = 1 - p = 1 - 0,08 = 0,92$ — вероятность того, что один врач не заболеет (вероятность "неудачи").

Нам необходимо найти вероятность события A, которое заключается в том, что "заболеет не менее 2 человек". Это означает, что число заболевших врачей $k$ может быть $k \geq 2$.

Вычислять вероятность для каждого значения $k$ от 2 до 25 и складывать их — трудоемко. Проще найти вероятность противоположного события $\overline{A}$, которое состоит в том, что заболеет менее 2 человек. Это означает, что никто не заболеет ($k=0$) или заболеет ровно один человек ($k=1$).

Вероятность искомого события A можно найти через вероятность противоположного события: $P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - (P(k=0) + P(k=1))$

Вероятность того, что из $n$ испытаний произойдет ровно $k$ успехов, вычисляется по формуле Бернулли: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$ где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент.

1. Найдем вероятность того, что никто из врачей не заболеет ($k=0$):
$P_{25}(0) = C_{25}^0 \cdot (0,08)^0 \cdot (0,92)^{25-0} = 1 \cdot 1 \cdot (0,92)^{25} = (0,92)^{25}$

2. Найдем вероятность того, что заболеет ровно один врач ($k=1$):
$P_{25}(1) = C_{25}^1 \cdot (0,08)^1 \cdot (0,92)^{25-1} = 25 \cdot 0,08 \cdot (0,92)^{24} = 2 \cdot (0,92)^{24}$

3. Найдем вероятность противоположного события $P(\overline{A})$:
$P(\overline{A}) = P_{25}(0) + P_{25}(1) = (0,92)^{25} + 2 \cdot (0,92)^{24}$
Вынесем общий множитель $(0,92)^{24}$ за скобки:
$P(\overline{A}) = (0,92)^{24} \cdot (0,92 + 2) = 2,92 \cdot (0,92)^{24}$
Теперь вычислим приближенное значение:
$(0,92)^{24} \approx 0,13695$
$P(\overline{A}) \approx 2,92 \cdot 0,13695 \approx 0,399906$

4. Найдем искомую вероятность $P(A)$:
$P(A) = 1 - P(\overline{A}) \approx 1 - 0,399906 = 0,600094$

Округляя результат до четырех знаков после запятой, получаем 0,6001.

Ответ: $0,6001$