Номер 19.8, страница 167 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 19. Схема Бернулли. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 19.8, страница 167.

19.8. Вероятность того, что станок изготовит бракованную деталь, равна $p$. Какова вероятность того, что из 15 деталей ровно 2 будут бракованными?

Данная задача является классическим примером нахождения вероятности в серии независимых испытаний, также известной как схема Бернулли. Мы рассматриваем процесс изготовления 15 деталей как серию из 15 независимых испытаний. Каждое испытание (изготовление одной детали) может иметь два исхода: деталь бракованная («успех») или деталь качественная («неудача»).

Вероятность того, что в $n$ испытаниях событие наступит ровно $k$ раз, вычисляется по формуле Бернулли: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k}$ где:

• $n$ — общее число испытаний;
• $k$ — число «успешных» исходов;
• $p$ — вероятность «успеха» в одном испытании;
• $q = 1-p$ — вероятность «неудачи» в одном испытании;
• $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — число сочетаний (количество способов выбрать $k$ элементов из $n$).

В условиях нашей задачи:

• Общее число деталей (испытаний) $n = 15$.
• Требуемое число бракованных деталей («успехов») $k = 2$.
• Вероятность изготовления бракованной детали («успеха») равна $p$.
• Вероятность изготовления качественной детали («неудачи») равна $q = 1-p$.

Сначала вычислим число сочетаний $C_{15}^2$, то есть количество способов, которыми могут быть выбраны 2 бракованные детали из 15 изготовленных: $C_{15}^2 = \frac{15!}{2!(15-2)!} = \frac{15!}{2! \cdot 13!} = \frac{13! \cdot 14 \cdot 15}{2 \cdot 1 \cdot 13!} = \frac{14 \cdot 15}{2} = 7 \cdot 15 = 105$.

Теперь подставим все значения в формулу Бернулли. Вероятность того, что 2 детали будут бракованными, а остальные $15-2=13$ деталей — качественными, равна произведению числа сочетаний на вероятность одной такой комбинации ($p^2 \cdot (1-p)^{13}$): $P_{15}(2) = C_{15}^2 \cdot p^2 \cdot (1-p)^{15-2} = 105 \cdot p^2 \cdot (1-p)^{13}$.

Ответ: $105p^2(1-p)^{13}$