Номер 19.6, страница 167 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Глава 4. Элементы теории вероятностей. Параграф 19. Схема Бернулли. Упражнения - номер 19.6, страница 167.

Учебник.

19.6. Монету подбрасывают 10 раз. Какова вероятность, что ровно 3 раза выпадет герб?

Решение.

Решение 2.

19.6.

Данная задача относится к схеме независимых испытаний Бернулли. Нам нужно найти вероятность того, что в серии из $n=10$ испытаний (подбрасываний монеты) некоторое событие (выпадение герба) произойдет ровно $k=3$ раза.

Вероятность этого можно вычислить по формуле Бернулли:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$
где:
$n$ — общее число испытаний;
$k$ — количество "успехов" (в данном случае, выпадений герба);
$p$ — вероятность "успеха" в одном испытании;
$q$ — вероятность "неудачи" в одном испытании, $q = 1 - p$;
$C_n^k$ — число сочетаний из $n$ по $k$, которое вычисляется как $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Определим значения переменных для нашей задачи:
$n = 10$ (всего подбрасываний);
$k = 3$ (требуемое количество гербов);
$p = \frac{1}{2}$ (вероятность выпадения герба при одном броске);
$q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ (вероятность выпадения решки).

1. Найдем число сочетаний $C_{10}^3$ — это количество способов, которыми могут выпасть 3 герба в 10 бросках:
$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{6} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$.

2. Теперь подставим все значения в формулу Бернулли:
$P_{10}(3) = C_{10}^3 \cdot p^3 \cdot q^{10-3} = 120 \cdot (\frac{1}{2})^3 \cdot (\frac{1}{2})^7$

3. Упростим выражение, используя свойство степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:
$P_{10}(3) = 120 \cdot (\frac{1}{2})^{3+7} = 120 \cdot (\frac{1}{2})^{10}$

4. Вычислим знаменатель:
$2^{10} = 1024$.

5. Получим окончательное значение вероятности:
$P_{10}(3) = 120 \cdot \frac{1}{1024} = \frac{120}{1024}$

6. Сократим полученную дробь. Разделим числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 8:
$\frac{120 \div 8}{1024 \div 8} = \frac{15}{128}$

Ответ: $\frac{15}{128}$