Номер 19.13, страница 168 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 19. Схема Бернулли. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 19.13, страница 168.

19.13. В $r$ вагонов электрички случайным образом заходят $n$ пассажиров. Какова вероятность того, что в первом вагоне окажется $k$ из этих пассажиров?

Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P = \frac{m}{N}$, где $N$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

1. Найдем общее число исходов N. У нас есть $n$ пассажиров и $r$ вагонов. Каждый из $n$ пассажиров может выбрать любой из $r$ вагонов независимо от других. Таким образом, для первого пассажира есть $r$ вариантов выбора, для второго — $r$ вариантов, и так далее до $n$-го пассажира. Общее число всех возможных способов размещения $n$ пассажиров по $r$ вагонам равно: $N = r^n$. Это число представляет собой общее количество элементарных исходов.

2. Найдем число благоприятных исходов m. Благоприятный исход — это ситуация, когда в первом вагоне оказалось ровно $k$ пассажиров. Чтобы посчитать количество таких исходов, разобьём задачу на два этапа.
Этап 1: Выбор $k$ пассажиров, которые зайдут в первый вагон. Из $n$ пассажиров нужно выбрать $k$ человек. Порядок выбора не важен, поэтому используем формулу для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Этап 2: Размещение оставшихся $n-k$ пассажиров. Оставшиеся $n-k$ пассажиров должны зайти в любой из оставшихся $r-1$ вагонов (со второго по $r$-й). Каждый из этих $n-k$ пассажиров имеет $r-1$ вариант выбора. Следовательно, число способов разместить их равно $(r-1)^{n-k}$.
По правилу произведения, общее число благоприятных исходов $m$ равно произведению результатов этих двух этапов: $m = C_n^k \cdot (r-1)^{n-k}$.

3. Вычислим искомую вероятность. Теперь, когда у нас есть общее число исходов $N$ и число благоприятных исходов $m$, мы можем найти искомую вероятность, разделив $m$ на $N$: $P = \frac{m}{N} = \frac{C_n^k (r-1)^{n-k}}{r^n}$.

Эту же задачу можно решить, используя схему испытаний Бернулли. Рассмотрим выбор вагона каждым пассажиром как независимое испытание. "Успехом" будем считать, что пассажир выбрал первый вагон. Вероятность "успеха" для одного пассажира $p = \frac{1}{r}$. Вероятность "неудачи" (пассажир выбрал любой другой вагон) $q = 1 - p = 1 - \frac{1}{r} = \frac{r-1}{r}$. Вероятность того, что в $n$ испытаниях будет ровно $k$ успехов, вычисляется по формуле Бернулли: $P_n(k) = C_n^k p^k q^{n-k} = C_n^k \left(\frac{1}{r}\right)^k \left(\frac{r-1}{r}\right)^{n-k} = C_n^k \frac{(r-1)^{n-k}}{r^n}$. Оба подхода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $P = \frac{C_n^k (r-1)^{n-k}}{r^n}$