Номер 19.10, страница 168 - гдз по алгебре 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Упражнения. § 19. Схема Бернулли. Глава 4. Элементы теории вероятностей - номер 19.10, страница 168.

19.10. В новой квартире вкрутили 10 новых лампочек. Вероятность того, что лампочка проработает не менее года, составляет 0,9. Какова вероятность того, что в течение года придётся заменить ровно 3 лампочки?

Для решения этой задачи используется формула Бернулли, поскольку мы имеем дело с серией из $n$ независимых испытаний (срок службы каждой из 10 лампочек), каждое из которых имеет два возможных исхода (лампочка перегорит в течение года или нет).

Определим параметры задачи:
- Общее количество испытаний (лампочек) $n = 10$.
- Вероятность того, что одна лампочка проработает не менее года, составляет $0.9$.
- Событие, которое нас интересует, — это замена лампочки. Это произойдет, если лампочка проработает менее года. Вероятность этого события (будем считать ее "успехом") является противоположной и равна $p = 1 - 0.9 = 0.1$.
- Вероятность того, что лампочка не потребует замены (противоположное событие, или "неудача"), равна $q = 1 - p = 1 - 0.1 = 0.9$.
- Искомое количество "успехов" (лампочек, которые нужно заменить) равно $k = 3$.

Формула Бернулли для нахождения вероятности того, что в $n$ испытаниях событие с вероятностью $p$ произойдет ровно $k$ раз, выглядит следующим образом:
$P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}$
где $C_n^k$ — это число сочетаний из $n$ по $k$, которое рассчитывается по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Сначала вычислим число сочетаний, то есть количество способов, которыми могут перегореть 3 лампочки из 10:
$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$

Теперь подставим все известные значения в формулу Бернулли:
$P_{10}(3) = C_{10}^3 \cdot (0.1)^3 \cdot (0.9)^{10-3} = 120 \cdot (0.1)^3 \cdot (0.9)^7$

Произведем расчеты:
$(0.1)^3 = 0.001$
$(0.9)^7 \approx 0.4782969$
$P_{10}(3) = 120 \cdot 0.001 \cdot 0.4782969 = 0.12 \cdot 0.4782969 \approx 0.057395628$

Округлив результат до четырех знаков после запятой, получаем искомую вероятность.

Ответ: $0.0574$